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Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 17a

17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:

a) f x = 4 x 2 + 7 2 2 x 3 + 1 4

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que calcular a derivada da função f x = 4 x 2 + 7 2 2 x 3 + 1 4 pelo método de derivação logarítmica.

Lembra como fazemos isso? 🤔

A ideia por trás desse método é simplificar alguns casos em que temos x no expoente de algo e queremos calcular a derivada desse algo ou também quando temos um polinômio elevado a um expoente muito grande. Mas também nada nos impede de calcular a derivada de uma função qualquer a partir desse método.

Dada uma função f x aplicamos l n nos dois lados da igualdade

y = f x → ln ⁡ y = ln ⁡ f x

Assim, aplicando uma derivada implicita derivamos nos dois lados fazendo

ln ⁡ y ' = ln ⁡ f x '

1 y y ' = ln ⁡ f x '

y ' = y ln ⁡ f x '

Dessa forma, podemos usar as propriedades logarítmicas para simplificar nossos cálculos como ln ⁡ a · b = ln ⁡ a + ln ⁡ b , ln ⁡ a / b = ln ⁡ a - ln ⁡ b , ln ⁡ a b = b ln ⁡ a ...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, f x = 4 x 2 + 7 2 2 x 3 + 1 4 , aplicando l n nos dois lados...

ln ⁡ y = ln ⁡ 4 x 2 + 7 2 2 x 3 + 1 4

Aplicando a propriedade de produto do logaritmo, temos

ln ⁡ y = ln ⁡ 4 x 2 + 7 2 + ln ⁡ 2 x 3 + 1 4

Também a regra do expoente

ln ⁡ y = 2 ln ⁡ 4 x 2 + 7 + 4 ln ⁡ 2 x 3 + 1

Derivando implicitamente nos dois lados...

1 y y ' = d 2 ln ⁡ 4 x 2 + 7 + 4 ln ⁡ 2 x 3 + 1 d x

Agora é só aplicar o que já sabemos...

A derivada da soma é igual a soma das derivadas

1 y y ' = d 2 ln ⁡ 4 x 2 + 7 d x + d 4 ln ⁡ 2 x 3 + 1 d x

1 y y ' = 2 d ln ⁡ 4 x 2 + 7 d x + 4 d ln ⁡ 2 x 3 + 1 d x

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Nas derivadas de ln ⁡ 4 x 2 + 7 e ln ⁡ 2 x 3 + 1 aplicamos a regra da cadeia, ou seja, a derivada de função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora

Primeiro para ln ⁡ 4 x 2 + 7

d ln ⁡ 4 x 2 + 7 d x = d 4 x 2 + 7 d x · d ln ⁡ u d u

d ln ⁡ 4 x 2 + 7 d x = 8 x · 1 u = 8 x u

Voltando u para 4 x 2 + 7

d ln ⁡ 4 x 2 + 7 d x = 8 x 4 x 2 + 7

Agora para ln ⁡ 2 x 3 + 1

d ln ⁡ 2 x 3 + 1 d x = d 2 x 3 + 1 d x · d ln ⁡ v d v

d ln ⁡ 2 x 3 + 1 d x = 6 x 2 · 1 v = 6 x 2 v

Voltando v para 2 x 3 + 1

d ln ⁡ 2 x 3 + 1 d x = 6 x 2 2 x 3 + 1

Substituindo em y '

1 y y ' = 2 8 x 4 x 2 + 7 + 4 6 x 2 2 x 3 + 1

1 y y ' = 16 x 4 x 2 + 7 + 24 x 2 2 x 3 + 1

Isolando y '

y ' = y 16 x 4 x 2 + 7 + 24 x 2 2 x 3 + 1

Como y = f x = 4 x 2 + 7 2 2 x 3 + 1 4

y ' = 4 x 2 + 7 2 2 x 3 + 1 4 16 x 4 x 2 + 7 + 24 x 2 2 x 3 + 1

y ' = 4 x 2 + 7 2 2 x 3 + 1 4 16 x 2 x 3 + 1 + 24 x 2 4 x 2 + 7 4 x 2 + 7 2 x 3 + 1

Simplificando...

y ' = 4 x 2 + 7 2 x 3 + 1 3 6 x 2 x 3 + 1 + 24 x 2 4 x 2 + 7

y ' = 6 x 4 x 2 + 7 2 x 3 + 1 4 + 24 x 2 4 x 2 + 7 2 2 x 3 + 1 3

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

y ' = 6 x 4 x 2 + 7 2 x 3 + 1 4 + 24 x 2 4 x 2 + 7 2 2 x 3 + 1 3

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