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Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

No exercício, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada:

y = sin ⁡ x sinh ⁡ x

Passo 1

Como o enunciado nos pediu, vamos usar a derivada logarítmica. Então, primeiro vamos aplicar o logaritmo dos dois lados

ln ⁡ y = ln ⁡ sin ⁡ x sinh ⁡ x

Passo 2

Pela propriedade do logaritmo, temos:

ln ⁡ sin ⁡ x sinh ⁡ x = sinh ⁡ x ln ⁡ sin ⁡ x

Passo 3

Então queremos achar a derivada:

ln ⁡ y ' = sinh ⁡ x ln ⁡ sin ⁡ x '

Derivamos pela Regra do Produto a função de x e usamos a derivada implícita na função de y :

y ' y = sinh ⁡ x ' ln ⁡ sin ⁡ x + sinh ⁡ x ln ⁡ sin ⁡ x '

Usando a regra da cadeia para o termo ln ⁡ sin ⁡ x , temos

y ' = y cosh ⁡ x ln ⁡ sin ⁡ x + sinh ⁡ x sin ⁡ x ' sin ⁡ x

= y cosh ⁡ x ln ⁡ sin ⁡ x sin ⁡ x sin ⁡ x + sinh ⁡ x cos ⁡ x sin ⁡ x

Passo 4

Substituindo o y de volta:

y = sin ⁡ x sinh ⁡ x

y ' = sin ⁡ x sinh ⁡ x cosh ⁡ x ln ⁡ sin ⁡ x sin ⁡ x sin ⁡ x + sinh ⁡ x cos ⁡ x sin ⁡ x

y ' = sin ⁡ x sinh ⁡ x - 1 cosh ⁡ x ln ⁡ sin ⁡ x sin ⁡ x + sinh ⁡ x cos ⁡ x

Resposta

y ' = sin ⁡ x sinh ⁡ x - 1 cosh ⁡ x ln ⁡ sin ⁡ x sin ⁡ x + sinh ⁡ x cos ⁡ x

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