UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 17e
17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
e)
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema temos que calcular a derivada da função pelo método de derivação logarítmica.
Lembra como fazemos isso? 🤔
A ideia por trás desse método é simplificar alguns casos em que temos no expoente de algo e queremos calcular a derivada desse algo ou também quando temos um polinômio elevado a um expoente muito grande. Mas também nada nos impede de calcular a derivada de uma função qualquer a partir desse método.
Dada uma função aplicamos nos dois lados da igualdade
Assim, aplicando uma derivada implicita derivamos nos dois lados fazendo
Dessa forma, podemos usar as propriedades logarítmicas para simplificar nossos cálculos como , , ...
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
Nesse caso, , aplicando nos dois lados...
Aplicando a propriedade de quociente do logaritmo, temos
Podemos reescrever como
Agora pela propriedade do expoente
Derivando implicitamente nos dois lados...
Agora é só aplicar o que já sabemos...
Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas...
Isolando
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Agora podemos derivar cada termo separadamente...
Começando por aplicando a regra da cadeia, ou seja, a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora
Como , então
Para a derivada de faremos a mesma coisa
Voltando para
Bacana, não é? 😉
Passo 4
Substituindo essas derivadas em
Organizando um pouquinho...
Como então
Simplificando
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
