UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profª Sonia Berrios - Lista 2 - Limites, Continuidade e Derivadas, Questão 27d
Derive
d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função . Repare que essa é uma função composta, nós temos a função polinomial elevada a outra função polinomial ().
Pra derivar essa função, nós vamos precisar aplicar a regra da cadeia, que nos diz que pra derivar uma função composta nós precisamos derivar a função de fora aplicada na função de dentro e multiplicar pela função de dentro, ou seja:
Mas antes de aplicar a regra da cadeia, vamos usar um artifício para nos ajudar. Vamos escrever a função na forma exponencial:
A gente pode fazer isso porque o ln é a função inversa de , então não altera em nada nossa função. Assim, vamos conseguir derivar a função exponencial, que será nossa , e derivar a função de dentro aplicando a regra da cadeia.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar usando as propriedades de logaritmos para escrever:
Assim, usando a regra da cadeia, nossa derivada terá a forma:
A derivada da exponencial é sempre igual a ela mesma, por isso não tivemos alterações quando derivamos a função de fora. Agora na derivada da função de dentro, que é , nós temos um produto. Então, precisamos aplicar também a regra do produto (). Fica assim:
Derivando a raiz e o ln:
Simplificando, temos:
Protinho, galera! Até a próxima! 😉