UTFPR. Campus Ponta Grossa. Cálculo 1. Prova AV2 REOF. Questão 7b.
7.b) Calcule a derivada da função . (Dica: Você pode utilizar diferenciação logarítmica).
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Para essa questão temos uma função dada por que temos que obter a sua derivada.
Olhando para a função
Podemos nos assustar um pouco, mas no fim do enunciado, foi dado uma dica para nós.
Essa dica nos diz pra usarmos a diferenciação logarítmica para obter a derivada de .
E aí, tem ideia do que fazer? 🤔🤔
A diferenciação logarítmica é uma maneira que temos para obter a derivada de uma função que pode ser muito complicada de resolvermos normalmente, como por exemplo a nossa .
Assim, podemos dizer que a derivada de é dada pelo produto da função multiplicado pela derivada do da função, ou também.
Bora começar? 😉
Passo 2
Primeiro vamos ver o que é .
Introduzindo a função no , temos
Assim podemos separar o numerador do denominador já que é igual a .
Aplicando isso ao nosso caso, temos
Da mesma forma que a divisão dentro do se transforma em subtração, o produto se transforma em soma, ou seja, é igual a . Logo
Perceba que é o mesmo que vezes, então podemos dizer que é igual a . 😅
Pode não ter ficado tão claro, não é? Então vamos analisar , o que temos é , correto? Se é o mesmo que , logo é o mesmo que que é igual a , entendeu? 👀
De forma geral queremos dizer que é igual a .
Aplicando isso ao nosso , temos
Simplificando a equação e sabendo que , então
Tranquilo até aqui? 🤔
Passo 3
Agora temos que derivar antes de substituir em .
Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então
Vamos calcular cada derivada separadamente e depois substituir em .
Primeiro vamos obter a derivada de .
Nesse caso, temos um produto de funções entre e , então temos que aplicar a regra do produto.
Mas também perceba que é uma função composta, então temos que aplicar a regra da cadeia calculando a derivada da função de dentro e multiplicar pela derivada da função de fora (vamos chamar a função de dentro como ).
Tem mais uma coisa... é um produto de funções, então temos que aplicar a regra do produto novamente.
Relaxa! Não arranque os cabelos, no final valerá o esforço! 🤩
Agora sim podemos obter as derivadas!
A derivada de é obtido pelo método de derivação polinomial, a derivada de e de (com relação a ) temos que decorar pelo teorema fundamental do cálculo e
Simplificando e substituindo por de volta.
Lembra o que é ? , não é? Então
Foi a primeira derivada! Bora pra próxima! 😉😉
Passo 4
Agora vamos obter a derivada de .
Vemos que é uma função composta, então temos que aplicar a regra da cadeia nesse caso. Lembra como faz? A derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora (substituindo a função interna por ).
Já vimos anteriormente que a derivada de é igual a , logo, também, a derivada de é igual a .
Substituindo por de volta
Bacana? 😁
Bora pra mais uma!
Passo 5
Agora derivamos a . Mais uma vez temos uma derivada que temos que decorar para a vida, pelo teorema fundamental do cálculo
Já para a derivada de temos que aplicar a regra da cadeia novamente (dessa vez fazendo como ).
Vamos derivar pelo método de derivação polinomial e a derivada de sabemos que é igual a , logo
Simplificando e substituindo por
Entendeu essa parte? 😎
Passo 6
Por último, vamos calcular a derivada de .
Como nossa função é composta, temos que aplicar a regra da cadeia fazendo como na derivada de fora, ou seja
Porém novamente temos uma outra função composta, no caso . Aplicando a regra da cadeia substituindo por na derivada de fora, temos
Derivamos pelo método de derivação polinomial e as derivadas com relação a e com relação a são obtidas pelo teorema fundamental do cálculo onde e .
Simplificando e substituindo por e por de volta, temos
Se , então
Está acompanhando? 👀
Passo 7
Por fim, substituímos os resultados das derivadas que obtivemos em
Substituindo na equação de diferenciação logarítmica
Grandinho, não é? 👀
Mas enfim terminamos, a derivada de é dada pela equação acima!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
