UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 17g
17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
g)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema temos que calcular a derivada da função pelo método de derivação logarítmica.
Lembra como fazemos isso? 🤔
A ideia por trás desse método é simplificar alguns casos em que temos no expoente de algo e queremos calcular a derivada desse algo ou também quando temos um polinômio elevado a um expoente muito grande. Mas também nada nos impede de calcular a derivada de uma função qualquer a partir desse método.
Dada uma função aplicamos nos dois lados da igualdade
Assim, aplicando uma derivada implicita derivamos nos dois lados fazendo
Dessa forma, podemos usar as propriedades logarítmicas para simplificar nossos cálculos como , , ...
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
Nesse caso, , aplicando nos dois lados...
Aplicando a propriedade do expoente
Derivando implicitamente nos dois lados...
Agora é só aplicar o que já sabemos...
Tirando a constante da derivada...
Isolando
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Agora podemos derivar a função de maneira mais facil...
Derivando pelo método de derivação polinomial, temos
Substituindo em
Como então
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
