17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:

g) f(x) = 10^(x^2 - 2x)

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que calcular a derivada da função f x = 10 x 2 - 2 x pelo método de derivação logarítmica.

Lembra como fazemos isso? 🤔

A ideia por trás desse método é simplificar alguns casos em que temos x no expoente de algo e queremos calcular a derivada desse algo ou também quando temos um polinômio elevado a um expoente muito grande. Mas também nada nos impede de calcular a derivada de uma função qualquer a partir desse método.

Dada uma função f x aplicamos l n nos dois lados da igualdade

y = f x → ln ⁡ y = ln ⁡ f x

Assim, aplicando uma derivada implicita derivamos nos dois lados fazendo

ln ⁡ y ' = ln ⁡ f x '

1 y y ' = ln ⁡ f x '

y ' = y ln ⁡ f x '

Dessa forma, podemos usar as propriedades logarítmicas para simplificar nossos cálculos como ln ⁡ a · b = ln ⁡ a + ln ⁡ b , ln ⁡ a / b = ln ⁡ a - ln ⁡ b , ln ⁡ a b = b ln ⁡ a ...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, f x = 10 x 2 - 2 x , aplicando l n nos dois lados...

ln ⁡ y = ln ⁡ 10 x 2 - 2 x

Aplicando a propriedade do expoente

ln ⁡ y = x 2 - 2 x ln ⁡ 10

Derivando implicitamente nos dois lados...

1 y y ' = d x 2 - 2 x ln ⁡ 10 d x

Agora é só aplicar o que já sabemos...

Tirando a constante ln ⁡ 1 0 da derivada...

1 y y ' = ln ⁡ 10 d x 2 - 2 x d x

Isolando y '

y ' = y ln ⁡ 10 d x 2 - 2 x d x

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora podemos derivar a função de maneira mais facil...

Derivando x 2 - 2 x pelo método de derivação polinomial, temos

d x 2 - 2 x d x = 2 x - 2

Substituindo em y '

y ' = y ln ⁡ 10 d x 2 - 2 x d x

y ' = y ln ⁡ 10 2 x - 2

Como y = f x = 10 x 2 - 2 x então

y ' = 10 x 2 - 2 x ln ⁡ 10 2 x - 2

y ' = ln ⁡ 10 2 x - 2 10 x 2 - 2 x

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

y ' = ln ⁡ 10 2 x - 2 10 x 2 - 2 x

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