Derive

f) y = (1 + ln(x)) / (1 - ln(x))

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função y = 1 + ln ⁡ x 1 - ln ⁡ x . Repare que nós temos uma divisão, um quociente. Então, nada mais justo que usar a regra do quociente na derivação, lembra dela? Vamos relembrar.

A regra do quociente é dada da seguinte forma:

f ( x ) g ( x ) ' = f ' x g x - f x g ' ( x ) g 2 ( x )

Então a gente tem a derivada do numerador vezes o denominador menos a derivada do denominador vezes o numerador, tudo sobre o denominador ao quadrado.

No nosso caso, temos f x = 1 + ln ⁡ x , que é o nosso numerador e g x = 1 - ln ⁡ x , como nosso denominador. Assim, basta substituir na fórmula e ir derivando.

Vamos lá!

Passo 2

Escrevendo a derivada da nossa função de acordo com a regra do quociente, temos:

y ' = 1 + ln ⁡ x ' 1 - ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ x 1 - ln ⁡ x ' 1 - ln ⁡ x 2

Nós sabemos que a derivada do ln de alguma coisa é igual a 1 sobre essa mesma coisa. Além disso, nós sabemos que a derivada de uma constante é zero. Então, na derivada de 1 + ln ⁡ x , vamos ter:

1 + ln ⁡ x ' = 0 + 1 x = 1 x

E da mesma forma para 1 - ln ⁡ x :

1 - ln ⁡ x ' = 0 - 1 x = - 1 x

Substituindo isso em y ' , temos:

y ' = 1 x 1 - ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ x - 1 x 1 - ln ⁡ x 2

y ' = 1 x 1 - ln ⁡ x + 1 + ln ⁡ x 1 x 1 - ln ⁡ x 2

Aplicando a propriedade distributiva:

y ' = 1 x - ln ⁡ x x + 1 x + ln ⁡ x x 1 - ln ⁡ x 2

Simplificando e somando os termos semelhantes:

y ' = 2 x 1 - ln ⁡ x 2

y ' = 2 x 1 - ln ⁡ x 2

Protinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 x 1 - ln ⁡ x 2

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