UFES, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Estudos UFES - Cálculo 1 - Lista 11, Questão 13
Derive as funções dos exercícios a (se for conveniente, use derivação logarítmica)
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Temos a seguinte função que precisaremos derivar
em geral teremos que usar regrinhas básicas de derivação como a regra do tombo, regra do quociente, regra do produto e da cadeia, assim como diversas derivadas conhecidas! Mas, em particular, temos a derivação logarítmica citada no enunciado! Ela consiste em usar a seguinte derivada
quando conveniente para resolver o nosso problema! E você verá! Que isso é conveniente mais vezes do que se espera! Vem comigo!
Passo 2
Aqui a primeira coisa que nos será útil é lembrar a seguinte propriedade do logaritmo, temos que
Portanto, podemos escrever que
se derivarmos em ambos os lados, temos que
Para expandir essa expressão agora precisaremos usar a regra do produto, se lembra dela? Bora lá!
Passo 3
Utilizando a regra do produto
em que temos e , podemos escrever
A derivada do arcosseno pode ser tomada como conhecida, temos que
para a outra derivada vamos ter que usar a regra da cadeia! Vamos lá!
Passo 4
A regra da cadeia é dada tal que
em que temos e , aplicando a fórmula, temos que
Usando a derivada do logaritmo que apresentei no primeiro passo, e a derivada conhecida
podemos escrever, lembrando que , que
Ainda temos mais uma derivada para fazer! Vem comigo!
Passo 5
Usando os resultados que calculamos até agora temos que
o lado esquerdo precisa ser derivado usando a regra da cadeia com e , de forma que temos
como temos que , podemos escrever diretamente que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!