17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:

h) f(x) = x^(raiz(x)), x > 0

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que calcular a derivada da função f x = x x pelo método de derivação logarítmica.

Lembra como fazemos isso? 🤔

A ideia por trás desse método é simplificar alguns casos em que temos x no expoente de algo e queremos calcular a derivada desse algo ou também quando temos um polinômio elevado a um expoente muito grande. Mas também nada nos impede de calcular a derivada de uma função qualquer a partir desse método.

Dada uma função f x aplicamos l n nos dois lados da igualdade

y = f x → ln ⁡ y = ln ⁡ f x

Assim, aplicando uma derivada implicita derivamos nos dois lados fazendo

ln ⁡ y ' = ln ⁡ f x '

1 y y ' = ln ⁡ f x '

y ' = y ln ⁡ f x '

Dessa forma, podemos usar as propriedades logarítmicas para simplificar nossos cálculos como ln ⁡ a · b = ln ⁡ a + ln ⁡ b , ln ⁡ a / b = ln ⁡ a - ln ⁡ b , ln ⁡ a b = b ln ⁡ a ...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, f x = x x , aplicando l n nos dois lados...

ln ⁡ y = ln ⁡ x x

Aplicando a propriedade do expoente

ln ⁡ y = x ln ⁡ x

Derivando implicitamente nos dois lados...

1 y y ' = d x ln ⁡ x d x

Isolando y '

y ' = y d x ln ⁡ x d x

Agora é só aplicar o que já sabemos...

Pela regra do produto, temos

d x ln ⁡ x d x = d x d x · ln ⁡ x + x · d ln ⁡ x d x

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo

d x ln ⁡ x d x = 1 2 x · ln ⁡ x + x · 1 x

d x ln ⁡ x d x = ln ⁡ x 2 x + x x

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Substituindo em y '

y ' = y d x ln ⁡ x d x

y ' = y ln ⁡ x 2 x + x x

Como y = f x = x x então

y ' = x x ln ⁡ x 2 x + x x

Simplificando...

y ' = x x x ln ⁡ x + x 2 x 2 x x

y ' = x x x ln ⁡ x + 2 x 2 x x

y ' = x x x ln ⁡ x + 2 2 x x

y ' = x x + 1 ln ⁡ x + 2 2 x x

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

y ' = x x + 1 ln ⁡ x + 2 2 x x

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