UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 17h
17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
h)
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema temos que calcular a derivada da função pelo método de derivação logarítmica.
Lembra como fazemos isso? 🤔
A ideia por trás desse método é simplificar alguns casos em que temos no expoente de algo e queremos calcular a derivada desse algo ou também quando temos um polinômio elevado a um expoente muito grande. Mas também nada nos impede de calcular a derivada de uma função qualquer a partir desse método.
Dada uma função aplicamos nos dois lados da igualdade
Assim, aplicando uma derivada implicita derivamos nos dois lados fazendo
Dessa forma, podemos usar as propriedades logarítmicas para simplificar nossos cálculos como , , ...
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
Nesse caso, , aplicando nos dois lados...
Aplicando a propriedade do expoente
Derivando implicitamente nos dois lados...
Isolando
Agora é só aplicar o que já sabemos...
Pela regra do produto, temos
Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Substituindo em
Como então
Simplificando...
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
