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Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Seja f x = ln ⁡ 3 π x sen ⁡ 2 x . Determine:

f ' π

Passo 1

Vamos derivar esse cara com o auxílio da derivação implícita. Então, vamos usar o seguinte:

f x = e ln ⁡ f x

Para o nosso caso vamos ficar com:

f x = e ln ⁡ ln ⁡ 3 π x sen ⁡ 2 x

Passo 2

As propriedades vão simplificar o cara aqui:

e ln ⁡ ln ⁡ 3 π x sen ⁡ 2 x = e sen ⁡ 2 x ln ⁡ ln ⁡ 3 π x

Passo 3

Nessa situação, podemos derivar a função exponencial, sabendo que ela pede, pela Regra da Cadeia, a derivada do seu expoente. Para derivar esse expoente, por sua vez, a gente precisa chamar a Regra do produto.

Fazendo então:

f ' x = e sen ⁡ 2 x ln ⁡ ln ⁡ 3 π x '

= e sen ⁡ 2 x ln ⁡ ln ⁡ 3 π x sen ⁡ 2 x ln ⁡ ln ⁡ 3 π x '

= e sen ⁡ 2 x ln ⁡ ln ⁡ 3 π x sen ⁡ 2 x ' ln ⁡ ln ⁡ 3 π x + sen ⁡ 2 x ln ⁡ ln ⁡ 3 π x '

= e sen ⁡ 2 x ln ⁡ ln ⁡ 3 π x 2 cos ⁡ 2 x ln ⁡ ln ⁡ 3 π x + sen ⁡ 2 x ln ⁡ 3 π x ' ln ⁡ 3 π x

= e sen ⁡ 2 x ln ⁡ ln ⁡ 3 π x 2 cos ⁡ 2 x ln ⁡ ln ⁡ 3 π x + sen ⁡ 2 x 3 π x ' 3 π x 1 ln ⁡ 3 π x

= e sen ⁡ 2 x ln ⁡ ln ⁡ 3 π x 2 cos ⁡ 2 x ln ⁡ ln ⁡ 3 π x + sen ⁡ 2 x ln ⁡ 3 π x 3 π 3 π x

= e sen ⁡ 2 x ln ⁡ ln ⁡ 3 π x 2 cos ⁡ 2 x ln ⁡ ln ⁡ 3 π x + sen ⁡ 2 x x ln ⁡ 3 π x

E é essa a derivada. Pequena, né?

Passo 4

Agora, ainda não acabou. Falta substituir x = π em f ' x :

f ' π = e sen ⁡ 2 π ln ⁡ ln ⁡ 3 π π 2 cos ⁡ 2 π ln ⁡ ln ⁡ 3 π π + sen ⁡ 2 π π ln ⁡ 3 π π

= e 0 ln ⁡ ln ⁡ 3 2 1 ln ⁡ ln ⁡ 3 + 0 π ln ⁡ 3

= e 0 2 ln ⁡ ln ⁡ 3

= 2 ln ⁡ ln ⁡ 3

Resposta

f ' π = 2 ln ⁡ ln ⁡ 3

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