UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profª Sonia Berrios - Lista 2 - Limites, Continuidade e Derivadas, Questão 31
Encontre uma equação da reta tangente e normal à curva no ponto .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva no ponto . Pra isso, nós precisamos lembrar que a equação de uma reta de coeficiente angular , passando por um ponto é dada por:
Além disso, a gente sabe que a derivada representa essa inclinação da reta, então podemos dizer que . Sendo assim, nós vamos precisar calcular a derivada de em relação a , aplica-la no ponto dado e substituir tudo na equação da reta.
E para achar a equação da reta normal à curva, vamos fazer de modo semelhante. Mas precisamos saber que o seu coeficiente angular é o inverso negativo do coeficiente angular da reta tangente, ou seja:
Isso acontece porque as duas retas são perpendiculares. Assim, encontrando a equação da reta tangente, basta inverter o coeficiente angular e teremos a equação da reta normal.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada em relação a de . Repare que essa é uma função composta, então precisamos aplicar a regra da cadeia na hora de derivar. Fica assim:
Derivando a função de dentro do argumento do ln, vamos ter:
Assim, no ponto, vamos substituir e teremos:
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é . Consequentemente, o coeficiente angular da reta normal será:
Passo 3
Substituindo na equação da reta com , temos:
Essa é a equação da reta tangente à curva. De modo semelhante, vamos ter a reta normal dada por:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉