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Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Questão 2) Calcule a derivada das seguintes funções, usando as regras de derivação:

a)

f x = 2 x + 8 x 5 x 6 + 3 x

Passo 1

Então, vamos começar aqui aplicando a regra da divisão, afinal se trada de uma derivada de uma fração:

f x = 2 x + 8 x 5 x 6 + 3 x         →

f ' x = x 6 + 3 x 2 x + 8 x 5 ' - 2 x + 8 x 5 x 6 + 3 x ' x 6 + 3 x 2

O nosso problema agora é calcular aquelas duas derivadas no denominador. Vem comigo!

Passo 2

Vamos começar com a primeira...

2 x + 8 x 5 '

É uma derivada de polinômio simples, basta aplicar a “regra do tombamento”:

2 x + 8 x 5 ' = 2 + 8 ⋅ 5 x 4 =

2 + 40 x 4

Passo 3

Beleza, então agora derivemos o outro cara dos parênteses...

x 6 + 3 x '

Tome cuidado! Pois o primeiro termo é um polinômio, já o segundo é uma potencia!

x 6 + 3 x ' = 6 x 5 + 3 x '

Para a derivada da potência, vamos ter que coloca-la na base e , lembrando-se de que...

e ln ⁡ ( 3 x ) = 3 x

Por propriedade do l n ...

e x ln ⁡ 3 = 3 x

Substituindo na derivada...

x 6 + 3 x ' = 6 x 5 + 3 x '

x 6 + 3 x ' = 6 x 5 + e x ln ⁡ 3 '

Aplicando-se a regra da cadeia para a derivada de uma exponencial...

x 6 + 3 x ' = 6 x 5 + e x ln ⁡ 3 ⋅ x ln ⁡ 3 '

x 6 + 3 x ' = 6 x 5 + ln ⁡ 3 e x ln ⁡ 3

Ou...

x 6 + 3 x ' = 6 x 5 + 3 x ln ⁡ 3

Passo 4

Voltando para a derivada “central”, oi seja, a derivada que queremos...

f ' x = x 6 + 3 x 2 x + 8 x 5 ' - 2 x + 8 x 5 x 6 + 3 x ' x 6 + 3 x 2

E substituindo...

f ' x = x 6 + 3 x 2 + 40 x 4 - 2 x + 8 x 5 6 x 5 + 3 x ln ⁡ 3 x 6 + 3 x 2 →

Basicamente é essa a resposta. A gente pode até dar uma melhorada nela, mas essa é a resposta

f ' x = 2 x 6 + 40 x 10 + 2 ⋅ 3 x + 40 x 4 3 x - 12 x 6 + 2 ln ⁡ 3 x ⋅ 3 x + 48 x 10 + 8 ln ⁡ 3 x 5 ⋅ 3 x x 6 + 3 x 2 →

f ' x = - 10 x 6 - 8 x 10 + 2 ⋅ 3 x + 40 x 4 3 x - 2 ln ⁡ 3 x ⋅ 3 x - 8 ln ⁡ 3 x 5 ⋅ 3 x x 6 + 3 x 2

E prontinho... :D

Resposta

f ' x = - 10 x 6 - 8 x 10 + 2 ⋅ 3 x + 40 x 4 3 x - 2 ln ⁡ 3 x ⋅ 3 x - 8 ln ⁡ 3 x 5 ⋅ 3 x x 6 + 3 x 2

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