Derive

b) f(x) = raiz(ln(x) + 3, 5)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função f x = ln ⁡ x + 3 5 . Repare que essa é uma função composta, nós temos a função raiz e no radicando temos uma função logarítmica junto com uma função constante.

Parece meio complicado, mas é super simples derivar essa função, porque basta a gente usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que pra derivar uma função composta nós precisamos derivar a função de fora aplicada na de dentro e multiplicar pela função de dentro, ou seja:

f ' x = h g x ' = h ' g x ∙ g ' ( x )

No nosso caso, h x = ln ⁡ x + 3 5 e g x = ln ⁡ x + 3 . Sacou? Então, basta substituir na fórmula.

Vamos lá!

Passo 2

Então vamos começar escrevendo a nossa raiz na forma de potência:

f x = ln ⁡ x + 3 1 / 5

Assim, a gente consegue usar a regra da potência ( d d x x n = n x n - 1 ) na derivação junto com a regra da cadeia:

f ' x = 1 5 ln ⁡ x + 3 1 5 - 1 ∙ ln ⁡ x + 3 '

f ' x = 1 5 ln ⁡ x + 3 - 4 / 5 ∙ ln ⁡ x + 3 '

Como o expoente é negativo, a gente pode escrever ele no denominador em forma de raiz de novo:

f ' x = 1 5 ln ⁡ x + 3 4 5 ∙ ln ⁡ x + 3 '

Agora derivando a função de dentro, que é ln ⁡ x + 3 , vamos ter:

f ' x = 1 5 ln ⁡ x + 3 4 5 ∙ 1 x + 0

f ' x = 1 5 x ln ⁡ x + 3 4 5

Protinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 5 x ln ⁡ x + 3 4 5

Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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