UFES, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Estudos UFES - Cálculo 1 - Lista 11, Questão 15
Derive as funções dos exercícios a (se for conveniente, use derivação logarítmica)
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Temos a seguinte função que precisaremos derivar
em geral teremos que usar regrinhas básicas de derivação como a regra do tombo, regra do quociente, regra do produto e da cadeia, assim como diversas derivadas conhecidas! Mas, em particular, temos a derivação logarítmica citada no enunciado! Ela consiste em usar a seguinte derivada
quando conveniente para resolver o nosso problema! E você verá! Que isso é conveniente mais vezes do que se espera! Vem comigo!
Passo 2
Primeira coisa vamos aplicar o logaritmo em nossa função, temos que
usando a seguinte propriedade do logaritmo, temos que
podemos escrever então que
se usarmos então a propriedade do logaritmo
Podemos escrever que
Se derivarmos dos dois lados, obtemos que
Resolver agora é uma questão de aplicar a regra do produto e a regra da cadeia! Vamos fazer isso com calma!
Passo 3
Vamos primeiro resolver a derivada
lembrando a regra do produto
ou seja, podemos escrever
pela regra do tombo
podemos escrever que
Agora, usando a regra da cadeia
em que e , usando a derivada logarítmica que apresentei no primeiro passo, temos que
juntando ambos os resultados, temos que
Vamos resolver a nossa outra derivada agora! Bora lá!
Passo 4
Temos que resolver
usando a regra da cadeia com e , podemos escrever
aplicando a regra do tombo e a derivada logarítmica temos que
Juntando ambos os resultados, podemos obter que
Agora precisamos resolver o lado esquerdo! Bora lá!
Passo 5
Temos que resolver
aplicando a regra da cadeia com e , podemos escrever
Portanto, usando que , obtemos a nossa derivada como
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!