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Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 17d

17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:

d) f x = 4 x - 1 3 x 2 + 2 4 3 x 2 + 5 2

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema temos que calcular a derivada da função f x = 4 x - 1 3 x 2 + 2 4 3 x 2 + 5 2 pelo método de derivação logarítmica.

Lembra como fazemos isso? 🤔

A ideia por trás desse método é simplificar alguns casos em que temos x no expoente de algo e queremos calcular a derivada desse algo ou também quando temos um polinômio elevado a um expoente muito grande. Mas também nada nos impede de calcular a derivada de uma função qualquer a partir desse método.

Dada uma função f x aplicamos l n nos dois lados da igualdade

y = f x → ln ⁡ y = ln ⁡ f x

Assim, aplicando uma derivada implicita derivamos nos dois lados fazendo

ln ⁡ y ' = ln ⁡ f x '

1 y y ' = ln ⁡ f x '

y ' = y ln ⁡ f x '

Dessa forma, podemos usar as propriedades logarítmicas para simplificar nossos cálculos como ln ⁡ a · b = ln ⁡ a + ln ⁡ b , ln ⁡ a / b = ln ⁡ a - ln ⁡ b , ln ⁡ a b = b ln ⁡ a ...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, f x = 4 x - 1 3 x 2 + 2 4 3 x 2 + 5 2 , aplicando l n nos dois lados...

ln ⁡ y = ln ⁡ 4 x - 1 3 x 2 + 2 4 3 x 2 + 5 2

Aplicando a propriedade de quociente do logaritmo, temos

ln ⁡ y = ln ⁡ 4 x - 1 3 x 2 + 2 4 - ln ⁡ 3 x 2 + 5 2

Agora aplicando a propriedade de produto

ln ⁡ y = ln ⁡ 4 x - 1 3 + ln ⁡ x 2 + 2 4 - ln ⁡ 3 x 2 + 5 2

Também a regra do expoente

ln ⁡ y = 3 ln ⁡ 4 x - 1 + 4 ln ⁡ x 2 + 2 - 2 ln ⁡ 3 x 2 + 5

Derivando implicitamente nos dois lados...

1 y y ' = d 3 ln ⁡ 4 x - 1 + 4 ln ⁡ x 2 + 2 - 2 ln ⁡ 3 x 2 + 5 d x

Agora é só aplicar o que já sabemos...

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas...

1 y y ' = d 3 ln ⁡ 4 x - 1 d x + d 4 ln ⁡ x 2 + 2 d x - d 2 ln ⁡ 3 x 2 + 5 d x

1 y y ' = 3 d ln ⁡ 4 x - 1 d x + 4 d ln ⁡ x 2 + 2 d x - 2 d ln ⁡ 3 x 2 + 5 d x

Isolando y '

y ' = y 3 d ln ⁡ 4 x - 1 d x + 4 d ln ⁡ x 2 + 2 d x - 2 d ln ⁡ 3 x 2 + 5 d x

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora podemos derivar cada termo separadamente...

Começando por ln ⁡ 4 x - 1 aplicando a regra da cadeia, ou seja, a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora

d ln ⁡ 4 x - 1 d x = d 4 x - 1 d x · d ln ⁡ p d p = 4 · 1 p

d ln ⁡ 4 x - 1 d x = 4 p

Como p = 4 x - 1 , então

d ln ⁡ 4 x - 1 d x = 4 4 x - 1

Agora para o termo ln ⁡ x 2 + 2 fazemos a mesma coisa

d ln ⁡ x 2 + 2 d x = d x 2 + 2 d x · d ln ⁡ q d q = 2 x · 1 q

d ln ⁡ x 2 + 2 d x = 2 x q

Se q = x 2 + 2 ...

d ln ⁡ x 2 + 2 d x = 2 x x 2 + 2

E por último para d ln ⁡ 3 x 2 + 5 d x

d ln ⁡ 3 x 2 + 5 d x = d 3 x 2 + 5 d x · d ln ⁡ r d r = 6 x · 1 r

d ln ⁡ 3 x 2 + 5 d x = 6 x r

Voltando r para 3 x 2 + 5

d ln ⁡ 3 x 2 + 5 d x = 6 x 3 x 2 + 5

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 4

Substituindo as derivadas em y '

y ' = y 3 d ln ⁡ 4 x - 1 d x + 4 d ln ⁡ x 2 + 2 d x - 2 d ln ⁡ 3 x 2 + 5 d x

y ' = y 3 4 4 x - 1 + 4 2 x x 2 + 2 - 2 6 x 3 x 2 + 5

y ' = y 12 4 x - 1 + 8 x x 2 + 2 - 12 x 3 x 2 + 5

Se y = f x = 4 x - 1 3 x 2 + 2 4 3 x 2 + 5 2 então

y ' = 4 x - 1 3 x 2 + 2 4 3 x 2 + 5 2 12 4 x - 1 + 8 x x 2 + 2 - 12 x 3 x 2 + 5

Simplificando...

y ' = 4 x - 1 3 x 2 + 2 4 3 x 2 + 5 2 12 x 2 + 2 3 x 2 + 5 + 8 x 4 x - 1 3 x 2 + 5 - 12 x x 2 + 2 4 x - 1 4 x - 1 x 2 + 2 3 x 2 + 5

y ' = 4 x - 1 2 x 2 + 2 3 3 x 2 + 5 3 12 x 2 + 2 3 x 2 + 5 + 8 x 4 x - 1 3 x 2 + 5 - 12 x x 2 + 2 4 x - 1

y ' = 12 4 x - 1 2 x 2 + 2 4 3 x 2 + 5 2 + 8 x 4 x - 1 3 x 2 + 2 3 3 x 2 + 5 2 - 12 x 4 x - 1 3 x 2 + 2 4 3 x 2 + 5 3

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

y ' = 12 4 x - 1 2 x 2 + 2 4 3 x 2 + 5 2 + 8 x 4 x - 1 3 x 2 + 2 3 3 x 2 + 5 2 - 12 x 4 x - 1 3 x 2 + 2 4 3 x 2 + 5 3

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