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Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

No exercício, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada:

y = t t + 1 t + 2

Passo 1

O enunciado pediu para usar derivação logarítmica. Então, aplicando o logaritmo em ambos os lados, teremos:

ln ⁡ y = ln ⁡ t t + 1 t + 2

Passo 2

Pela propriedade do logaritmo, teremos:

ln ⁡ t t + 1 t + 2 = ln ⁡ t + ln ⁡ t + 1 + ln ⁡ t + 2

Passo 3

Derivaremos agora,

ln ⁡ y ' = ln ⁡ t + ln ⁡ t + 1 + ln ⁡ t + 2 '

Derivamos pela Regra da cadeia os termos ln ⁡ ( t + 1 ) e ln ⁡ ( t + 2 ) , obtendo:

y ' y = t ' t + t + 1 ' t + 1 + t + 2 ' t + 2

y ' = y 1 t + 1 t + 1 + 1 t + 2

Passo 4

Substituindo o y de volta:

y = t t + 1 t + 2

y ' = t t + 1 t + 2 1 t + 1 t + 1 + 1 t + 2

Se quiser pode fazer a distributiva

y ' = t + 1 t + 2 + t t + 2 + t t + 1

Resposta

y ' = t + 1 t + 2 + t t + 2 + t t + 1

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