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Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

UFCG – Cálculo 1 – 2 estágio – 2016/2

3) Usando a derivação logarítmica, encontre a derivada de f x = x 4 + 2 x 2 + 1 4 x 2 + 1 3 ⋅ x + 9 6

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos encontrar a derivada dessa funçãozona toda usando a derivação logarítmica.

Pra usar a derivação logarítmica, aplicamos ln dos dois lados e depois derivamos.

Vamos precisar lembrar das preciosíssimas propriedades de log:

ln ⁡ a b = ln ⁡ a + ln ⁡ b

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

ln ⁡ a b = b ln ⁡ a

Passo 2

Com:

y = x 4 + 2 x 2 + 1 4 x 2 + 1 3 ⋅ x + 9 6

Aplicando ln dos dois lados:

ln ⁡ y = ln ⁡ x 4 + 2 x 2 + 1 4 x 2 + 1 3 ⋅ x + 9 6

Passo 3

Agora vamos usar e abusar das propriedades:

ln ⁡ y = ln ⁡ x 4 + 2 x 2 + 1 4 x 2 + 1 3 ⋅ x + 9 6

ln ⁡ y = ln ⁡ x 4 + 2 x 2 + 1 4 - ln ⁡ x 2 + 1 3 ⋅ x + 9 6

ln ⁡ y = ln ⁡ x 4 + 2 x 2 + 1 1 4 - ln ⁡ x 2 + 1 3 + ln ⁡ x + 9 6

ln ⁡ y = 1 4 ln ⁡ x 4 + 2 x 2 + 1 - 3 ln ⁡ x 2 + 1 - 6 ln ⁡ ( x + 9 )

Passo 4

Derivando:

ln ⁡ y ' = 1 4 ln ⁡ x 4 + 2 x 2 + 1 - 3 ln ⁡ x 2 + 1 - 6 ln ⁡ x + 9 '

1 y y ' = 1 4 4 x 3 + 4 x 1 x 4 + 2 x 2 + 1 - 3 2 x 1 x 2 + 1 - 6 1 x + 9

y ' = y x 3 + x x 4 + 2 x 2 + 1 - 6 x x 2 + 1 - 6 x + 9

y ' = x 4 + 2 x 2 + 1 4 x 2 + 1 3 ⋅ x + 9 6 x 3 + x x 4 + 2 x 2 + 1 - 6 x x 2 + 1 - 6 x + 9

Resposta

y ' = x 4 + 2 x 2 + 1 4 x 2 + 1 3 ⋅ x + 9 6 x 3 + x x 4 + 2 x 2 + 1 - 6 x x 2 + 1 - 6 x + 9

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