UFES, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Estudos UFES - Cálculo 1 - Lista 11, Questão 7
Derive as funções dos exercícios a (se for conveniente, use derivação logarítmica)
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Temos a seguinte função que precisaremos derivar
em geral teremos que usar regrinhas básicas de derivação como a regra do tombo, regra do quociente, regra do produto e da cadeia, assim como diversas derivadas conhecidas! Mas, em particular, temos a derivação logarítmica citada no enunciado! Ela consiste em usar a seguinte derivada
quando conveniente para resolver o nosso problema! E você verá! Que isso é conveniente mais vezes do que se espera! Vem comigo!
Passo 2
Primeira coisa, temos uma função que é produto entre duas funções, da forma , normalmente, usamos a regra do produto, mas e se no lugar usarmos a seguinte propriedade do logaritmo
identificando que e , temos
Só mais uma propriedade do logaritmo antes de começarmos a derivar, lembre que o logarítmo neperiano é a inversa da função exponencial, portanto
e, finalmente, obtemos
bem mais simples do que o produto que tínhamos antes, não é? Vamos começar a derivar agora!
Passo 3
Derivando em ambos os lados, temos pela linearidade do operador derivada que
identificando que , podemos usar a regra do tombo
para obter
guarde bem esse resultado que ele será útil na outra derivada também! Para as outras duas, temos funções compostas da forma , portanto devemos derivá-las usando que
identificando que e que , temos que
usando a derivada logarítmica que apresentei no passo podemos escrever que
Para a outra derivada teremos que aplicar a regra da cadeia novamente! Saca só!
Passo 4
TEmos que calcular a seguinte derivada
identificando em nossa regra cadeia que temos novamente e , temos que
note que usei o resultado que tínhamos obtido antes para a derivada de , simplificando podemos escrever
juntando com os resultados do passo anterior, temos que
Ou seja, temos que
Ainda temos mais uma derivada para calcular! Mas vamos beber uma aguinha primeiro! No jeito? Bora lá!
Passo 5
Agora, vamos usar a regra da cadeia denovo, mas com e , temos que
o que queremos neste problema é , portanto, usando todos os resultado que obtivemos até agora, temos que
Portanto, usando que a nossa derivada será
que pode ser simplificado da seguinte maneira
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!