UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 17b
17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
b)
Passo 1
Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉
Nesse problema temos que calcular a derivada da função pelo método de derivação logarítmica.
Lembra como fazemos isso? 🤔
A ideia por trás desse método é simplificar alguns casos em que temos no expoente de algo e queremos calcular a derivada desse algo ou também quando temos um polinômio elevado a um expoente muito grande. Mas também nada nos impede de calcular a derivada de uma função qualquer a partir desse método.
Dada uma função aplicamos nos dois lados da igualdade
Assim, aplicando uma derivada implicita derivamos nos dois lados fazendo
Dessa forma, podemos usar as propriedades logarítmicas para simplificar nossos cálculos como , , ...
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
Nesse caso, , aplicando nos dois lados...
Aplicando a propriedade de produto do logaritmo, temos
Também a regra do expoente
Derivando implicitamente nos dois lados...
Agora é só aplicar o que já sabemos...
Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas...
Isolando
Tranquilo até aqui? 😬
Passo 3
Agora podemos calcular cada termo separadamente a partir da regra da cadeia, ou seja, a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora.
Para o termo
Como
Agora para o termo
Se , então
E por último, para o termo
Voltando para .
Bacana, não é? 😊
Passo 4
Substituindo em
Como , então
Simplificando...
Sacou como faz? Responde Aí! 😉
