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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, P2 - Profº Leonardo - 2018.2, Questão 1

(1) Ache pontos de máximo e mínimo globais de f x , y = - x - 1 2 - y 2 + 2 sujeita à restrição x 2 + y - 2 2 = 20

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, nosso objetivo é calcular os pontos de máximo e mínimo global da função f x , y = - x - 1 2 - y 2 + 2 que está restrita à equação x 2 + y - 2 2 = 20 ,

Tem ideia de como fazer isso? 😬

Nesse caso, o que podemos fazer é substituir a equação em f e obter os pontos críticos normalmente, ou seja, fazemos f ' x , y = 0 .

Assim vamos encontrar possíveis valores uma das variáveis e substituindo na equação da restrição, podemos encontrar os pontos críticos.

Com os pontos em mãos, podemos substituir em f e verificar qual possui maior imagem e qual possui menor imagem...

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos começar substituindo x da equação da restrição em f .

Isolando x , temos

x 2 + y - 2 2 = 20 → x 2 = 20 - y - 2 2

x = 20 - y - 2 2

Substituindo em f ...

f y = - 20 - y - 2 2 - 1 2 - y 2 + 2

f y = - 20 - y - 2 2 - 2 20 - y - 2 2 + 1 - y 2 + 2

Simplificando...

f y = - 20 - y 2 - 4 y + 4 - 2 20 - y 2 - 4 y + 4 + 1 - y 2 + 2

f y = - 20 - y 2 + 4 y - 4 - 2 20 - y 2 + 4 y - 4 + 1 - y 2 + 2

f y = - 20 + y 2 - 4 y + 4 + 2 16 - y 2 + 4 y - 1 - y 2 + 2

f y = - 4 y + 2 16 - y 2 + 4 y - 15

Agora temos que derivar f y

f ' y = d - 4 y + 2 16 - y 2 + 4 y - 15 d y = - d 4 y d y + d 2 16 - y 2 + 4 y d y - d 15 d y

O primeiro termo é obtido através do método de derivação polinomial, já o segundo é obtido pela regra da cadeia...

d 4 y d y = 4

d 2 16 - y 2 + 4 y d y = - 2 y + 4 16 - y 2 + 4 y

d 15 d y = 0

Substituindo em f ' y

f ' y = - 4 + - 2 y + 4 16 - y 2 + 4 y - 0

f ' y = - 4 + - 2 y + 4 16 - y 2 + 4 y

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Igualando f ' a 0 , temos

f ' y = - 4 + - 2 y + 4 16 - y 2 + 4 y = 0

- 4 16 - y 2 + 4 y - 2 y + 4 16 - y 2 + 4 y = 0

Simplificando multiplicando os dois lados pelo denominador...

- 4 16 - y 2 + 4 y - 2 y + 4 = 0

- 4 16 - y 2 + 4 y = 2 y - 4

Elevando os dois lados ao quadrado

- 4 16 - y 2 + 4 y 2 = 2 y - 4 2

16 16 - y 2 + 4 y = 4 y 2 - 16 y + 16

256 - 16 y 2 + 6 4 y = 4 y 2 - 16 y + 16

20 y 2 - 80 y - 240 = 0

Tirando as raízes dessa equação, vamos obter

y 1 = - 2 y 2 = 6

Agora para obter o ponto completo, substituímos y 1 e y 2 na equação da restrição x 2 + y - 2 2 = 20 .

Para y 1 = - 2

x 1 2 + - 2 - 2 2 = 20 → x 1 = ± 2

Logo, os primeiros pontos são dados por

P 1 = 2 , - 2

P 2 = - 2 , - 2

Agora fazemos o mesmo para y 2 = 6

x 2 2 + 6 - 2 2 = 20 → x 2 = ± 2

Portanto, encontramos mais dois pontos

P 3 = 2,6

P 4 = - 2,6

Bacana, não é? 😊

Passo 4

Por fim, vamos substituir os pontos que encontramos em f x , y e verificar qual possui maior imagem e qual possui menor imagem...

f x , y = - x - 1 2 - y 2 + 2

Começando por P 1 = 2 , - 2 , temos

f P 1 = - 2 - 1 2 - - 2 2 + 2 = - 3

Para P 2 = - 2 , - 2

f P 2 = - - 2 - 1 2 - - 2 2 + 2 = - 11

Para P 3 = 2,6

f P 3 = - 2 - 1 2 - 6 2 + 2 = - 35

E por último, para P 4 = - 2,6

f P 4 = - - 2 - 1 2 - 6 2 + 2 = - 43

Comparando os resultados, vemos que P 1 é o ponto de máximo e P 4 é o ponto de mínimo

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Ponto máximo: P 1 = 2 , - 2 ,     f P 1 = - 3

Ponto mínimo: P 4 = - 2,6 ,     f P 4 = - 43

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