USP – Cálculo 2 - P2 IME - 2021.2 - 7
Sejam e dada por . Se e são, respectivamente os valores mínimo e máximo de sobre , então:
não admite pontos de máximo e mínimo sobre C
Passo 1
Fala povo, tudo certo?
Vamos encarar mais um problema de máximo e mínimos de funções de várias variáveis!! Mas fica tranquilo que a gente junto consegue resolver \o/
Note inicialmente que não é compacto (intersecção da esfera, compacta, com o plano, fechado) e é contínua, portanto existem tais e indicados no enunciado.
Pra gente encontrar esse ponto de máximo vamos precisar recorrer aos nossos famosos multiplicadores de Lagrange (com uma restrição nesse caso).
Vamos chamar de e
Passo 2
Lembrando que o ponto procurado deve satisfazer as condições de:
devem ser linearmente independentes
A primeira condição equivale aos nossos famosos multiplicadores de Lagrange, onde:
Onde e são os multiplicadores de Lagrange!
Note que e são linearmente independentes ao longo de , uma vez que caso isso não fosse verdade, estaríamos somando duas coisas que dependem uma das outras na solução final.
Passo 3
Outra condição que temos é que:
Passo 4
Pelas condições dadas temos a relação de e isso implica dizer que o sistema terá a seguinte forma:
A solução deste problema nos dá que:
Passo 5
Logo, temos que os seguintes pontos então:
Desta maneira, temos que:
Logo,