Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Máximos e Mínimos
Seja .
- Dados os pontos e , decida quais deles são pontos de máximo local, de mínimo local, ou ponto de sela de .
- Determine os valores de máximo e mínimo de em , em que é a região do plano delimitada pelo retângulo de vértices e .
Passo 1
a) Pra gente decidir alguma coisa sobre esses pontos, precisamos, antes ver quais deles são pontos críticos, igualando a primeira derivada da função a . Depois encontramos as segundas derivadas nos pontos críticos, colocamos no determinante e vemos se são pontos de máximo, mínimo ou de sela.
Partiu derivar essa função!
Em relação a , temos:
Em relação a , temos:
Como vamos precisar depois mesmo, calculemos de uma vez as segundas derivadas também ;) Só função polinomial mesmo, não custa nada:
Passo 2
E, para encontrar os pontos críticos, resolvemos o sistema que iguala as primeiras derivadas parciais a :
Veja que não vale a pena fazer nenhuma distributiva! Pela segunda equação, vemos que se ela já da .
Também, se , então ela toda da . Para saber os valores de , só resolver a equação do segundo grau!
Então vemos que colocando , ou tornam a equação de baixo verdadeira!
Passo 3
Show! Mas esses valores resolvem nosso problema para a segunda equação, apenas. Para verificarmos se eles são válidos, temos que substituir cada e cada na primeira equação, e tentar encontrar o valor da outra coordenada.
Por exemplo, se colocarmos na primeira equação:
Então temos que o ponto é um ponto crítico da função!
Agora, tentemos colocar na primeira equação, para encontrar o correspondente:
Pronto! Se colocamos , pode ser que a equação se torna verdadeira. Assim, temos mais dois pontos críticos, e
Por último, vamos fazer para na primeira equação:
Como estamos trabalhando apenas com números reais, dizer que é menor do que não rola XD Então vemos que colocar não é uma opção par ao nosso sistema!
Assim, dentre os pontos dados pelo enunciado, e são pontos críticos, e não é.
Passo 4
Perfeito! Agora que temos os pontos críticos, podemos colocar no determinante:
Que é:
Como o enunciado pede apenas para os pontos que ele deu, colocaremos os pontos e no determinante. Começando pelo :
Agora fazendo o mesmo para o :
Como ambos os determinantes deram menos que , tanto quanto são pontos de sela :D
Passo 5
b) Essa questão é quase igual a primeira, só que com um domínio metido da história. Nesses casos, não precisamos usar LaGrangre, pois não é uma outra função que limita a . Sabemos que, nesse domínio , ou os pontos de máximo e mínimo serão pontos críticos de que estejam dentro de , ou estarão na borda do retângulo.
Da letra , temos que o único ponto dentro do retângulo que ainda pode ser um máximo ou mínimo é o ponto .
Agora só precisamos ver os valores de nos vértices do retângulo e nos pontos críticos de exatamente sobre cada borda! Lembrando que seus vértices são e , podemos definir parametrizar as seguintes retas para o domínio :
A que liga os pontos e , tem altura constante, e varia entre e . Então, temos
A que liga os pontos e , tem constante, e varia entre e . Então, temos
A que liga os pontos e , tem altura constante, e varia entre e . Então, temos
A que liga os pontos e , tem constante, e varia entre e . Então, temos
Passo 6
Agora temos que parametrizar de acordo com essas retas, pois elas são a projeção dos valores da superfície formada por no plano . Então, derivamos a expressão de em relação a e vemos quais possíveis pontos críticos temos na curva que pertence a cuja projeção em é a reta em questão, pegou a ideia?
Além disso, no final, devemos verificar o valor de nos quatro vértices do retângulo, pois mesmo encontrando os pontos críticos de , não é garantia de que eles sejam pontos de máximo ou mínimo globais, tomando como espaço o domínio .
Sem mais enrolação, partiu parametrizar ! Para a curva , pegamos e, onde tiver colocamos , e onde tiver colocamos . A parametrização fica:
Derivando, teremos:
Para encontra o ponto crítico, igualamos a derivada a ,
Mas veja, esse ponto não está sobre o domínio que o retângulo estabelece! Então, como o ponto crítico está fora do retângulo , deixamos ele de lado.
Passo 7
Agora vamos parametrizar com a curva . Para isso, colocamos onde aparecer e onde aparecer . Fica assim:
Derivando teremos:
Igualando a para encontrar o ponto crítico, teremos:
Show! Pelo limite estabelecido, , ou seja, ele pode ser ! Quando , temos o ponto na curva . Então no nosso catálogo de pontos para serem testados, temos mais um, o .
Passo 8
Partiu parametrizar com a curva . Então, colocamos onde aparecer e onde aparecer . Fica assim:
Derivando teremos:
Igualando a para encontrar o ponto crítico, teremos:
Como é maior do que , não está no domínio que limitamos!
Passo 9
Agora vamos parametrizar com a curva . Para isso, colocamos onde aparecer e onde aparecer . Fica assim:
Derivando teremos:
Igualando a para encontrar o ponto crítico, teremos:
E, como está entre e (que são os limites para o parâmetro nesse segmento de reta), então é uma opção válida! Colocando na parametrização, temos o ponto !
Passo 10
Agora é sair testando todos os pontos que encontramos! Os candidatos são e , dentre os pontos sobre os segmentos do retângulo. Além deles, temos , que é um ponto crítico da superfície dentro do retângulo, e os próprios vértices do retângulo, que são e .
Então, bora jogar cada um na função e ver qual é o maior e qual o menor!
Colocando o ponto em , temos:
Colocando o ponto em , temos:
Colocando o ponto em , temos:
Colocando o ponto em , temos:
Colocando o ponto em , temos:
Colocando o ponto em , temos:
Colocando o ponto em , temos:
E, vendo esses valores, o máximo da função é , enquanto o mínio é
Resposta
a) e são pontos de sela
b) Em , o máximo é , e o mínimo é