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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Sejam m número real, m ≠ 0 e f x , y = x 4 + m y 2 - 2 x ² .

(a) Classifique os pontos críticos de f em função de m .

(b) Considere m = 2 . Encontre os valores máximo e mínimo de f no conjunto

C = { x , y ∈ R 2   : - 1 ≤ x ≤ 1 , x 2 ≤ y ≤ 1 }

Passo 1

(a)

Questão de pontos críticos não tem erro: basta achar as derivadas parciais, igualá-las a 0 e depois mandar ver no teste da derivada segunda! Então vamos lá, nós temos:

f x , y = x 4 + m y 2 - 2 x ²

Então as derivadas parciais vão ser:

∂ f ∂ x x , y = 4 x 3 + 0 - 4 x = 4 x ( x 2 - 1 )

∂ f ∂ y x , y = 2 m y

Passo 2

Agora vamos igualar essas derivadas a zero. Primeiro pra derivada parcial em x :

∂ f ∂ x x , y = 0

4 x x 2 - 1 = 0

x = 0   o u   x 2 = 1

x = 0   o u   x = 1   o u   x = - 1

E agora pra derivada parcial em relação a y :

∂ f ∂ y x , y = 0

2 m y = 0

y = 0

já que m ≠ 0 .

Portanto, os pontos críticos de f são 0,0   ; ( 1,0 ) e - 1,0 .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas segundas de f , pra depois aplicar o teste da derivada segunda:

f x x , y = 4 x 3 - 4 x

Logo:

f x x x , y = 12 x 2 - 4

Também temos:

f y x , y = 2 m y

f y y = 2 m

E pras derivadas mistas:

f x y = f y x = 0

Passo 4

Firmeza! Agora podemos partir pro teste da derivada segunda:

H x , y = f x x ( x , y ) f x y ( x , y ) f y x ( x , y ) f y y ( x , y ) = 12 x 2 - 4 0 0 2 m = 12 x 2 - 4 2 m

Agora vem a parte delicada, vamos ter que classificar os pontos críticos que achamos em função de m :

  • Ponto ( 0,0 ) : H 0,0 = 0 - 4 2 m = - 8 m e f x x 0,0 = - 4 < 0
  • Ponto ( 1,0 ) : H 1,0 = 12 - 4 2 m = 16 m e f x x 0,0 = 8 > 0
  • Ponto - 1,0 : H - 1,0 = 12 - 4 2 m = 16 m e f x x - 1,0 = 8 > 0

Pra ficar mais claro, podemos classificar os pontos críticos de f em função do sinal de m em uma tabela:

Passo 5

(b)

Nessa questão m = 2 então:

f x , y = x 4 + 2 y 2 - 2 x ²

Vamos achar todos os candidatos a ponto de máximo ou mínimo de f em C , ou seja que respeitem as seguintes condições:

- 1 ≤ x ≤ 1     e     x 2 ≤ y ≤ 1

Temos que considerar candidatos no interior e na borda do conjunto C .

Podemos notar que nenhum dos candidatos que achamos na letra (a) estão no interior de C . De fato:

  • 0,0 → x 2 = y ≤ 1 (borda de C )
  • 1,0 → x 2 > y (fora de C )
  • - 1,0 → x 2 > y (fora de C )

Então todos os nossos candidatos a pontos de máximo e mínimo estão na borda de C .

Vamos dividir a borda em 3 partes:

  1. pontos com x 2 = y e - 1 < x < 1
  2. pontos com y = 1 e - 1 < x < 1
  3. pontos das extremidades: x = - 1 e y = 1 ou x = y = 1

Vamos ver melhor isso no próximo passo! :)

Passo 6

1. Vamos começar com os pontos de f onde x 2 = y e - 1 < x < 1 . A f vai ficar dependendo de uma só variável, aí vamos poder usar o clássico procedimento de derivar e igualar a derivada a 0 e assim achar os pontos críticos!

A função f vai ficar assim:

f x = x 4 + 2 x 2 2 - 2 x 2 = 3 x 4 - 2 x ²

Primeiro, derivando:

f ' x = 12 x 3 - 4 x

Agora, igualando a derivada a 0:

12 x 3 - 4 x = 0

x 12 x 2 - 4 = 0

Temos 2 possibilidades, ou x = y = 0 , ou:

12 x 2 = 4

3 x 2 = 1

x 2 = 1 3

x = ± 1 3 = ± 3 3

E como y = x 2 :

y = 1 3

Portanto, achamos 3 candidatos: os pontos ( 0,0 ) ; ( 3 3 , 1 3 ) e ( - 3 3 , 1 3 ) .

Observação: se deixar 1 3 também tá bom, eu que sou fresco e gosto de botar 3 3 :)

Passo 7

2. Vamos agora aos pontos com y = 1 e - 1 < x < 1 . Usando o mesmo procedimento do passo anterior, temos:

f x = x 4 + 2.1 2 - 2 x 2 = x 4 - 2 x 2 + 2

Derivando:

f ' x = 4 x 3 - 4 x = 4 x ( x 2 - 1 )

Igualando a 0:

4 x x 2 - 1 = 0

x = 0     o u     x 2 = 1   ⇒ x = ± 1

Vamos só guardar o caso x = 0 pois x = ± 1 não respeita a condição - 1 < x < 1 . Vamos deixar esses daí pro próximo passo :)

Enfim, achamos mais um candidato: o ponto ( 0,1 ) .

Passo 8

3. Agora sim, vamos considerar as extremidades, são os pontos onde x 2 = y = 1 .

Portanto, temos mais 2 candidatos: ( 1,1 ) e ( - 1,1 ) .

Assim, temos ao todo 6 candidatos:

0,0 ;   3 3 , 1 3 ; - 3 3 , 1 3   ;   0,1   ; 1,1     e     ( - 1,1 )

Passo 9

Próximo passo: calcular o valor da função em cada ponto e determinar qual é o máximo e qual é o mínimo. Partiu? Lembrando que:

f x , y = x 4 + 2 y 2 - 2 x ²

  • f 0,0 = 0 + 0 + 0 = 0
  • f 3 3 , 1 3 = f - 3 3 , 1 3 = 9 81 + 2 .   1 9 - 2 . 1 3 = 1 3 - 2 3 = - 1 3
  • f 0,1 = 0 + 2 - 0 = 2
  • f 1,1 = f - 1,1 = 1 + 2 - 2 = 1

Ou seja, ficou assim:

Enfim conseguimos achar os extremantes de f no conjunto C :

  • Os pontos de mínimo são   3 3 , 1 3   e   - 3 3 , 1 3 e o valor mínimo é - 1 3 .
  • O ponto de máximo é ( 0,1 ) e o valor máximo é 2 .

Resposta

(a)

(b)

Os pontos de mínimo são   3 3 , 1 3   e   - 3 3 , 1 3 e o valor mínimo é - 1 3 .

O ponto de máximo é ( 0,1 ) e o valor máximo é 2 .

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