Encontre o maior e o menor valor de no círculo . Em que pontos tais valores são atingidos?

Vamos começar procurando os pontos críticos no interior do círculo. Pra isso a gente precisa tirar as derivadas parciais em relação a e :

E um ponto é crítico quando essas duas derivadas são iguais a zero sobre ele. Então ficamos com um sistema:

Multiplicando a equação de baixo por :

E agora somando as duas:

E substituindo na primeira equação:

Ou seja, é um ponto crítico. E nesse caso:

Ok, vamos guardar essa informação.

Agora a gente tem que olhar pra borda do círculo, e procurar o maior e o menor valor.

Isso é diferente de procurar o ponto crítico, aqui só queremos achar o máximo e o mínimo nessa borda.

Aqui pode ser uma boa escrever o problema em coordenadas polares. A transformação é essa aqui:

E já que a gente só quer olhar a borda do círculo, vamos fixar , então:

Então a função tem a seguinte forma quando estamos na borda:

E como :

Mas ainda não é óbvio qual vai ser o valor de que dá o maior e o menor valor da equação.

Vamos então usar essa identidade aqui:

Ou seja:

Tá, qual é o maior valor que essa função aqui assume?

O valor máximo de vai aparecer quando , certo? E como , então:

O valor mínimo de vai aparecer quando , que é o caso do , então:

E quais os valores de nesses casos?

E quais são as coordenadas e nesses pontos?

O que na prática, significa que se é par, temos os pontos:

E se é ímpar, temos os pontos:

Ok pessoal. Então a gente localizou cinco candidatos a máximo e mínimo do círculo:

Então o valor máximo da função no círculo é simplesmente o maior desses três valores, ou seja:

E o valor mínimo é o menor dos três:

Pronto, resolvido!