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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 2 – 2020.2 – P1 – Discursiva

2 . Encontre os valores máximo e mínimo absoluto da função

f ( x ,   y )   =   2 x 2   +   x y   + 5 4 y 2   -   2 x   -   2 y

no quadrado unitário Q   =   [ 0 ,   1 ]   ×   [ 0 ,   1 ] .

Passo 1

Para conseguir os nossos resultados teremos que analisar f no interior de Q usando o gradiente de f para encontrar os candidatos a máximo e mínimo absoluto e depois analisando a fronteira de Q onde conseguiremos de fato descobrir o que o enunciado nos pede.

Tudo pronto? Vamos lá!

Passo 2

Analisando no interior de Q temos que o gradiente de f é dado por:

∇ f = f x , f y = 4 x + y - 2 , y + 5 2 y - 2

Como queremos os pontos de máximo e mínimos sabemos que ∇ f = ( 0,0 ) , sendo assim:

4 x + y - 2 = 0 ⇒ y = 2 - 4 x                                                                                                                                                                             x + 5 2 y - 2 = 0 ⇒ x + 5 2 2 - 4 x - 2 = 0 ⇒ x + 5 - 10 x - 2 = 0 ⇒ x = 1 3

Nosso ponto candidato é 1 3 , 2 3 pois esse ponto pertence a Q e nesse ponto f 1 3   , 2 3 = - 1

Passo 3

Agora para sabermos se de fato esse ponto é um máximo ou mínimo absoluto vamos fazer uma análise dos quatro segmentos do quadrado Q .

1- y = 0 e 0 ≤ x ≤ 1 , então:

f x , 0 = 2 x 2 -   2 x

Então podemos conseguir o ponto crítico por:

f ' x , 0 = 4 x - 2 ⇒ x = 1 2

Os pontos candidatos a máximo/mínimo são f 0,0 = 0 , f ( 1 2 , 0 ) = - 1 2 e f 1,0 = 0

2- y = 1 e 0 ≤ x ≤ 1 , então:

f x , 1 = 2 x 2 -   x - 3 4

Então podemos conseguir o ponto crítico por:

f ' x , 1 = 4 x - 1 ⇒ x = 1 4

Os pontos candidatos a máximo/mínimo são f 0 , 1 = - 3 4 , f 1 4 , 1 = - 7 8   e f 1 , 1 = 1 4

3- x = 0 e 0 ≤ y ≤ 1 , então:

f 0 , y = 5 4 y 2   -   2 y

Então podemos conseguir o ponto crítico por:

f ' 0 , y = 5 2 y - 2 ⇒ y = 4 5

Os pontos candidatos a máximo/mínimo são f 0 , 0 = 0 , f 0 , 4 5   = - 4 5 e f 0 , 1 = - 3 4

4- x = 1 e 0 ≤ y ≤ 1 , então:

f 1 , y = 5 4 y 2   -   y

Então podemos conseguir o ponto crítico por:

f ' 0 , y = 5 2 y - 1 ⇒ y = 2 5

Os pontos candidatos a máximo/mínimo são f 1 , 0 = 0 , f 1 , 2 5   = - 1 5 e f 1 , 1 = 1 4

Então, comparando todos os valores absolutos vemos que o máximo absoluto é f 1,1 = 1 4 e que o mínimo absoluto é f 1 3   , 2 3 = - 1

Resposta

Máximo absoluto é f 1,1 = 1 4 e Mínimo absoluto é f 1 3   , 2 3 = - 1

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