Considere a função definida por
Onde é uma constante real não nula.
- Encontre os pontos críticos de
- Determine os pontos de máximo, mínimo e sela da função dada.
- Faça e determine os valores de máximo e mínimo absolutos de na região compacta
Passo 1
Para obter os pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais e igualá-las a zero.
Igualando isso a zero, ficamos com o sistema:
Passo 2
Vamos resolver esse sistema.
Como e , da primeira equação, temos que
Substituindo na segunda equação:
Assim, nosso único ponto crítico é o ponto .
Passo 3
Vamos analisar que tipo de ponto crítico é este:
Calculando derivadas segundas:
Passo 4
Calculando essas derivadas no ponto :
Passo 5
Calculando :
Para saber se isso aí é positivo ou negativo, temos que analisar o sinal de .
Se
Se .
Passo 6
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo globais de uma função com restrição o processo é sempre o mesmo: Verificar se há um ponto crítico dentro da região, e verificar se há máximos e mínimos na fronteira da região.
Como o ponto crítico , encontrado na letra , está fora da região , só nos resta verificar a fronteira da região .
As fronteiras da nossa região são:
Em cada lado a função só depende de uma variável, e nós temos que achar os pontos críticos dessas 3 “subfunções”.
Passo 7
Comecemos pelo lado . Lembrando a nossa função:
E o primeiro lado:
Substituindo o lado na função:
Temos que achar o valor de máximo dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a
Então temos pontos críticos em
Passo 8
Agora precisamos fazer o mesmo pro segundo lado :
Substituindo esse lado na função, teremos:
Desenvolvendo,
Temos que achar os pontos críticos dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a
Então temos o ponto
Passo 9
Vamos verificar para o terceiro lado :
Substituindo-o na função:
Logo, sobre a função é constante e igual a zero.
Passo 10
Ok, agora já temos todo o material necessário para terminar de vez com isso e dizer quais são os pontos de máximo e mínimo!
Os nossos candidatos são os pontos:
Passo 11
Só nos resta calcular o valor da função em cada ponto. Lembrando que
Então temos
Isso significa que todos os pontos de são pontos de máximo absoluto de , onde ela assume valor zero e o ponto é ponto de mínimo absoluto, onde a função assume valor -1.
Resposta
- Se
- Todos os pontos de são pontos de máximo absoluto de , onde ela assume valor zero e o ponto é ponto de mínimo absoluto, onde a função assume valor -1.
Se .