UFRJ, Cálculo 2, P2 2016.1, questão 11
Seja e . Então:
O máximo absoluto de é atingido no interior de
O máximo absoluto de é atingido na fronteira de
não possui mínimo absoluto em
não possui máximo absoluto em
O mínimo absoluto de é atingido no interior de
Passo 1
Consideremos como sendo a função definida na região . Vamos verificar se há máximos e mínimos no seu interior.
Vamos calcular as derivadas parciais de e igualar a zero para encontrar os pontos críticos. Temos:
Temos também:
Então temos o ponto . Porém perceba que ele não está na região . Logo ele não será um candidato a máximo e míninimo. Ou seja, não existem máximo e mínimos no interior da região .
Com isso, descartamos letra e letra
Passo 2
Agora temos de lembrar do teorema que diz o seguinte: “ Se for contínua em um conjunto fechado e limitado de , então assume um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto no interior de ou na fronteira de . “
Isso quer dizer o seguinte, se for contínua e limitada numa região, ou tem máximos e mínimos absolutos no interior dessa região ou então os pontos de máximo e mínimo absolutos estão na fronteira dessa região.
Bom, é uma função polinomial e portanto contínua. Se não temos pontos de máximo e mínimo absolutos no interior de , certamente eles existem e estão na fronteira de .
Portanto, descartamos letras e .
Logo o gabarito é letra , pois se o máximo absoluto não está no interior de , certamente está na fronteira de .
Resposta
Letra