Calculo 2 – UFPE – 2° EE
Considere a função .
- Determine os pontos críticos e classifique-os.
- Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos da função sobre o conjunto compacto .
Passo 1
Vamos começar por obter os pontos críticos da nossa função . Mas o que são os pontos críticos? Como conseguimos determina-los?
Estes pontos são aqueles que fazem com que as derivadas parciais da nossa função sejam iguais a zero. Isto é:
Em outras palavras, podemos dizer que o gradiente de é o vetor nulo. Logo, . Portanto, precisamos calculas as derivadas parciais da nossa função primeiramente. Logo,
Lembrando que ao derivarmos parcialmente em relação a uma variável, consideramos as demais como constantes.
Da derivada parcial , obtemos que a coordenada dos nossos pontos críticos devem ser iguais a 0! Já da análise da derivada parcial em relação a , , devemos tomar muito cuidado.
Os valores de que fazem são , onde (número inteiro). Precisamos tomar cuidado para não pegarmos apenas os valores 0 e !
Por fim, os pontos críticos possuem coordenadas , onde .
Passo 2
Agora, vamos classificar os pontos críticos (identificar se são pontos de máximo, de mínio ou de sela). Para isto, precisamos calcular o hessiano de . Relembrando, o hessiano é dado pelo determinante da seguinte matriz:
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem (derivar mais uma vez), temos: , , . Portanto,
Agora, vamos precisar separar os nossos pontos críticos em duas metades. A primeira consiste nos pontos cujo valor de é par. Já os outros consistem no valor de ímpar.
Para os pontos cujo valor de é par, temos:
Como , automaticamente, temos pontos de sela.
Já para os pontos cujo valor de é ímpar, temos:
Como , podemos ter pontos de máximo ou de mínimo. Precisamos checar agora o sinal de . Como , todos os pontos críticos com ímpar são pontos de mínimo local!
Passo 3
Agora, precisamos determinar os máximos e mínimos absolutos da função no conjunto compacto .
Sabemos que estes pontos de máximos e mínimos existem, pois, a função é contínua no conjunto fechado e limitado . Sabemos também que estes pontos de máximo estão localizados nos pontos críticos (obtidos anteriormente) ou na fronteira de .
Os pontos críticos que pertencem ao conjunto são e . O valor da função nesses pontos são e
Temos que analisar o comportamento da função na fronteira de . E, para isto, como a região consiste em um retângulo, vamos dividir a nossa fronteira em 4 partes.
- e
- e
- e
- e
Ao substituirmos na nossa função , vamos obter:
Esta é uma função é decrescente no intervalo . Portanto, possui máximo em e mínimo em , sendo os valores da função e
Ao substituirmos na nossa função , vamos obter:
Esta é uma função é decrescente no intervalo . Portanto, possui máximo em e mínimo em , sendo os valores da função e
Ao substituirmos na nossa função , vamos obter:
Esta é uma função é crescente no intervalo . Portanto, possui mínimo em e máximo em , sendo os valores da função e
Ao substituirmos na nossa função , vamos obter:
Esta é uma função é crescente no intervalo . Portanto, possui mínimo em e máximo em , sendo os valores da função e
O mínimo absoluto é obtido ao pegarmos o menor valor de calculado anteriormente e o máximo absoluto ao pegarmos o maior valor de calculado anteriormente. Portanto, o ponto de máximo global é e o ponto de mínimo global é
Resposta
- Os pontos críticos são , onde . Para par, os pontos são de sela. Já para ímpar, temos pontos de mínimo local.
- O ponto de máximo global é e o ponto de mínimo global é .