USP – Cálculo 2
Sejam e , dada por . Se e são, respectivamente, os valores máximo e mínimo globais de em , então:
Passo 1
Fala povo, tudo certo?
Vamos encarar mais um problema de máximo e mínimos de funções de várias variáveis!! Mas fica tranquilo que a gente junto consegue resolver \o/
Primeiro passo é a gente identificar como que calculamos pontos críticos de uma função de múltiplas variáveis.
A gente precisa aplicar nosso famoso gradiente na função e igualar esse cara a zero, ou seja:
E o que é gradiente mesmo? É derivar a função em cada variável que ela tem. Como assim?
Depois vamos precisar encontrar os pontos que zeram esse gradiente e por fim falar de matriz Hessiana.
Mas fica tranquilo e não se assusta! Vamos ver isso mais pra frente pra irmos com calma!
Passo 2
Vamos então calcular nosso gradiente!
Primeiro, vamos lembrar que a
Logo, o gradiente dessa função é dada por:
Observe que não conseguimos então fazer a igualdade de , uma vez que já encontramos um valor de . O que isso indica?
Indica que NÃO HÁ PONTOS CRÍTICOS de em , assim procuramos extremos globais em , show?
Passo 3
Vamos fazer o seguinte agora, vamos pegar e deixar ele de forma homogênea, ou seja, vamos jogar tudo pra um mesmo lado da igualdade.
Por qual motivo eu fiz ali o sinal de se transformar em ? Lembre-se que estamos procurando extremidades globais agora.
Vamos chamar de .
Note também que , e por consequência temos que os extremantes devem satisfazer as duas condições a seguir:
Passo 4
Da condição de não dependência linear, temos que:
Onde são os autovalores dessa igualdade. Essa igualdade é válida porque , para , ou ainda podemos dizer que o determinante deve ser igual a zero.
Para ambos os casos a gente consegue obter a relação de e aí o sistema vai tomar a seguinte carinha:
Passo 5
Agora vamos encontrar os pontos de interesse para sabermos e conhecermos os valores de e .
Como eu encontrei isso? Peguei o valor de e substitui em
Portanto, e .
Para
Assim encontramos os pontos e
Analogamente, temos que quando
Logo, os pontos são:
e
Passo 6
Agora que encontramos os pontos, podemos substituir os mesmos na e verificar seus valores.
Logo,
Analogamente, os outros pontos podem ser calculados e temos:
O enunciado nos disse que e são os pontos de máximo e mínimo, respectivamente. Logo desses valores que encontramos de pra cada ponto, quem tem o maior e menor valor?
Logo,
UFFA! Deu a letra (b)!
Te espero no próximo desafio!!