Determine os valores e os respectivos pontos de máximo e de mínimo da função restrita à elipse
Passo 1
Os quatro pontos são pontos de mínimo local, onde e os quatro pontos são pontos de máximo local, onde
De fato, usando multiplicadores de Lagrange com a restrição precisamos resolver o sistema
Isso nos leva ao sistema de três equações
Passo 2
Se então e , o que nos leva às soluções . Se , então e , o que nos leva às soluções . Nesses quatro pontos, temos São pontos de mínimo porque sempre. Se então o sistema simplifica para , Substituindo na última equação, temos , ou seja, e Isso nos dá os quatro pontos críticos Nesses quator pontos,
Como não há outro ponto crítico, pois já encontramos todas as soluções das equações de Lagrange, e a restrição é um conjunto fechado e limitado, então esses são, necessariamente, pontos de máximo.