Seja
E considere a região triangular, fechada, de vértices . Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?
- O maior valor de em é 1 e o menor valor de em é .
- O maior valor de em é 2 e o menor valor de em é .
- O maior valor de em é 9 e o menor valor de em é .
- não assume um valor máximo em .
- Nenhuma das demais alternativas.
Passo 1
Primeiro vamos reconhecer a nossa região.
Marcando os vértices e ligando, temos aí nosso triângulo:
Repara que ele é delimitado pelas retas , e pela reta que passa pelos pontos e .
Vamos definir a equação dessa reta porque vamos precisar dela mais tarde, ok?
Lá do ensino médio, vai ser assim:
Agora precisamos buscar os candidatos a máximo e mínimo da nossa função dentro do triângulo e na fronteira dele.
Passo 2
Verificando os pontos críticos dentro da região:
Igualando a zero:
Isso significa que não temos candidatos a máximo e mínimo no interior da nossa região.
Passo 3
Antes de passar pra fronteira da região, precisamos guardar os vértices do triângulo que é a nossa região.
São os pontos:
Portanto, temos 3 pontos candidatos a máximo e mínimo.
Passo 4
Vamos para a fronteira agora.
Vamos dividir nossa fronteira em 3:
•Lado 1:
• Lado 2:
•Lado 3:
Em cada lado a função só depende de uma variável, e nós temos que achar os pontos críticos dessas 3 “subfunções”.
Passo 5
Comecemos pelo lado . Lembrando a nossa função:
E o primeiro lado:
Substituindo o lado na função:
Temos que achar o valor de máximo dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a
Então não temos candidatos sobre o lado 1.
Passo 6
Agora precisamos fazer o mesmo pro segundo lado :
Substituindo esse lado na função, teremos:
Desenvolvendo,
Temos que achar os pontos críticos dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a
Também não rola, né? Então também não temos candidatos sobre o lado 2.
Passo 7
Vamos verificar para o terceiro e último lado :
Substituindo-o na função:
Desenvolvendo,
Neste caso derivamos em relação a
De novo, não rola. Nada de candidatos sobre o lado 3 também.
Passo 8
Ok, agora já temos todo o material necessário para terminar de vez com isso e dizer quais são os pontos de máximo e mínimo!
Os nossos candidatos são os pontos:
Passo 9
Só nos resta calcular o valor da função em cada ponto. Lembrando que
Então temos
Show, então o maior valor de em é 9 e o menor valor de em é .
E não tem nenhuma opção que fala isso.
Resposta
Letra