UFAM– Cálculo 2 – P1 – Questão 3.1
- Encontre os valores máximo e mínimo absoluto de no conjunto
Passo 1
Oi, tudo bem? O problema nos deu uma função
E pediu para calcularmos os valores de máximos e mínimos dessa função, mas com uma restrição! Nesse conjunto aqui
Quando queremos encontrar máximos e mínimos com uma restrição você precisa lembrar de: MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
A função a ser minimizada/maximizada:
E a restrição (só jogar todo conjunto para um mesmo lado e igualar a zero):
E aplicar a técnica dos multiplicadores!
Vamos revisar passo a passo?
- Achar os pontos críticos fazendo
- Calcular
- Montar um sistema com e com a restrição
- Encontrar os pontos que satisfazem esse sistema
- E avaliar os pontos para saber qual é o máximo e qual é o mínimo
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Começando por calcular os gradientes
Daqui temos duas equações:
E
Temos apenas um ponto crítico sem restrição:
Beleza?
Passo 3
Agora vamos calcular :
Passo 4
Agora vamos montar nosso sistema de equações:
Igualando as componentes temos um sistema
Agora #partiu resolver esse sistema!
Igualando os das duas primeiras equações:
Simplificando temos:
E isolando temos:
E agora vamos substituir esse na restrição para saber os valores de :
Aqui temos mais 2 pontos (um para cada valor de y):
Tranquilo até aqui?
Passo 5
Nossa última missão é avaliar esses três pontos na função e aí verificar qual deles vai assumir o maior/menor valor:
Os pontos são
A função é
Agora vamos substituir os três pontos na função:
Concluímos que o ponto é ponto de mínimo e os pontos e são pontos de máximos
Com os valores:
é valor mínimo e máximo
Ufa! Terminamos!
Até próxima!