UNICAMP. Calculo 2. 2021.2 - 6ª Manhã. Prova: P1. Questão 2.
Suponha que
represente uma distribuição da temperatura no plano. Determine os pontos da região
de maior e menor temperatura.
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nessa questão, foi dada uma função que descreve a temperatura de um plano e o que precisamos fazer é calcular a maior e a menor temperatura que está condida em .
No caso, é dado pela equação .
Entendeu? Tem alguma ideia de como fazer isso?? 🤔🤔
Para obter os pontos onde a temperatura é maior e onde a temperatura é menor, vamos aplicar o método de obtenção dos pontos críticos de e relacionar e de alguma forma.
Esse método de obtenção dos pontos críticos consiste em calcular o vetor gradiente de e igualar a um vetor nulo, formando assim
Já para relacionar e , vamos introduzir em e obter os pontos críticos novamente.
Bora ver como é na prática? 😉
Passo 2
Primeiro vamos calcular o gradiente de
Derivando com relação a , temos
Pelo método da derivação polinomial, vemos
Derivando com relação a
Pelo mesmo método de derivação, chegamos em
Portanto, o gradiente de é dado por
Igualando a um vetor nulo, vamos ter um sistema de equações
Logo, vemos que a solução desse sistema é e , com isso, já temos o primeiro e único ponto crítico de .
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora vamos introduzir em ,
No caso, vamos pegar só a borda de , já os pontos críticos do seu interior são capturados quando calculamos os pontos críticos normalmente, como no passo anterior.
Portanto vamos considerar como
Isolando , temos
Substituindo em , vamos obter
Derivando com relação a
Igualando a , chegamos a conclusão que , logo
Substituindo por em para obter , vemos que
Assim, encontramos mais dois pontos, e
Bacana, não é?
Passo 4
Agora isolamos em
Substituindo em , temos
Derivando com relação a e igualando a , temos
Se , logo .
Substituindo por em e igualando a para obter
Assim, obtemos mais dois pontos! e
Está acompanhando? 🤔
Passo 5
Por fim, vamos calcular a imagem dos pontos que encontramos para ver qual é o maior e qual é o menor
Calculando a temperatura do ponto , temos
Logo a temperatura do ponto é igual a !
Para o ponto
Nesse ponto a temperatura calculada foi !
Para o ponto
Novamente a temperatura foi obtida, dessa vez para
Para
No ponto a temperatura é de !
Por último, para o ponto
Também para este ponto, a temperatura é de .
Analisando as temperaturas que calculamos, vemos que a maior delas é de , obtida no ponto , e a menor temperatura é de 2, obtida nos pontos e .
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
A maior temperatura é de , obtida no ponto , e a menor temperatura é de 2, obtida nos pontos e .