Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Sejam S = { x , y , z   ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 27 ,   x > 0 ,   y > 0 ,   z > 0 } e f x , y , z = l n x + l n y + 4 l n z , definida no maior domínio possível. A soma das coordenadas do ponto em que f , restrita a S , atinge seu valor máximo quando?

Passo 1

Fala povo, tudo certo?

Vamos encarar mais um problema de máximo e mínimos de funções de várias variáveis!! Mas fica tranquilo que a gente junto consegue resolver \o/

Note inicialmente que S não é compacto e isso faz com que nada garanta a gente que haja uma solução. Quando dizemos ser compacta é porque x , y   e   z podem assumir QUALQUER valor maior que zero de acordo com o enunciado, e isso é um campo muito aberto sem restrições de valores, porque essas coordenadas podem variar entre zero e +infinito.

De fato, a imagem de f não é limitada em S (perceba que f → - ∞ quando nos aproximamos da origem x , y , z = ( 0,0 , 0 ) . Restringindo-nos à parte de S em que cada uma das coordenadas é no mínimo a = 1 , temos um compacto e ali f assume valor máximo e mínimo. O mínimo de f está na fronteira dessa nova região e que esse valor mínimo diminui conforme a se aproxima de 0 .

Pra gente encontrar esse ponto de máximo vamos precisar recorrer aos nossos famosos multiplicadores de Lagrange (com uma restrição nesse caso). Como S ⊂ g - 1 ( 0 ) , onde:

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 27

Passo 2

Lembrando que o ponto procurado deve satisfazer as condições de:

∇ f x , y , z ,   ∇ g ( x , y , z ) devem ser linearmente independentes

g x , y , z = 0

x > 0 ,   y > 0 ,   z > 0

A primeira condição equivale aos nossos famosos multiplicadores de Lagrange, onde:

∇ f x , y , z = λ ∇ g ( x , y , z )

Pois ∇ g x , y , z ≠ 0,0 , 0 , para x , y , z ∈ S ou então ∇ f x , y , z × ∇ g x , y , z = ( 0,0 , 0 ) . Essas condições aí não têm jeito, galera! Elas vocês precisam decorar mesmo e tá com elas no sangue.

Passo 3

Temos que

f x , y , z = l n x + l n y + 4 l n z

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 27

Vamos encontrar os gradientes desses caras aí!

∇ f x , y , z = 1 x + 1 y + 4 z

∇ g = ( 2 x + 2 y + 2 z )

Fazendo ∇ f × ∇ g = ( 0,0 , 0 ) , encontramos:

z 2 - 4 y 2 ,   4 x 2 - z 2 , y 2 - x 2 = ( 0,0 , 0 )

Passo 4

Agora, nosso sistema de equações toma a seguinte forma:

x 2 - y 2 = 0

4 x 2 - z 2 = 0

x 2 + y 2 + z 2 = 27

x > 0 ,   y > 0 ,   z > 0

A solução deste problema nos dá que:

x = 3 3 6

y = 3 3 6

z = 3 12 6

Passo 5

Agora vamos somar as coordenadas deste ponto que encontramos:

x + y + z = 3 3 2 + 4 6

Sofremos? Sim kkkk mas sobrevivemos!!

Vamos pra próxima batalha, genteeeee!!

Resposta

x + y + z = 3 3 2 + 4 6

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