USP – Cálculo 2 - P2 IME - 2021.2 - 6
Sejam e , definida no maior domínio possível. A soma das coordenadas do ponto em que , restrita a , atinge seu valor máximo quando?
Passo 1
Fala povo, tudo certo?
Vamos encarar mais um problema de máximo e mínimos de funções de várias variáveis!! Mas fica tranquilo que a gente junto consegue resolver \o/
Note inicialmente que não é compacto e isso faz com que nada garanta a gente que haja uma solução. Quando dizemos ser compacta é porque podem assumir QUALQUER valor maior que zero de acordo com o enunciado, e isso é um campo muito aberto sem restrições de valores, porque essas coordenadas podem variar entre zero e +infinito.
De fato, a imagem de não é limitada em (perceba que quando nos aproximamos da origem . Restringindo-nos à parte de em que cada uma das coordenadas é no mínimo , temos um compacto e ali assume valor máximo e mínimo. O mínimo de está na fronteira dessa nova região e que esse valor mínimo diminui conforme se aproxima de .
Pra gente encontrar esse ponto de máximo vamos precisar recorrer aos nossos famosos multiplicadores de Lagrange (com uma restrição nesse caso). Como , onde:
Passo 2
Lembrando que o ponto procurado deve satisfazer as condições de:
devem ser linearmente independentes
A primeira condição equivale aos nossos famosos multiplicadores de Lagrange, onde:
Pois para ou então . Essas condições aí não têm jeito, galera! Elas vocês precisam decorar mesmo e tá com elas no sangue.
Passo 3
Temos que
Vamos encontrar os gradientes desses caras aí!
Fazendo , encontramos:
Passo 4
Agora, nosso sistema de equações toma a seguinte forma:
A solução deste problema nos dá que:
Passo 5
Agora vamos somar as coordenadas deste ponto que encontramos:
Sofremos? Sim kkkk mas sobrevivemos!!
Vamos pra próxima batalha, genteeeee!!