Seja definida na região triangular fechada com vértices e . Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?

1. O máximo absoluto de em é e o mínimo absoluto de em é
2. O máximo absoluto de em é e o mínimo absoluto de em é
3. O máximo absoluto de em é e o mínimo absoluto de em é
4. O máximo absoluto de em é e o mínimo absoluto de em é
5. Não sei

Vamos achar os pontos críticos da função, igualando as derivadas parciais a zero:

Temos

Ou seja, a função não tem pontos críticos. Logo, os máximos e mínimos globais só podem estar na fronteira dessa região.

Analisando a fronteira, temos de encontrar a equação da reta que une os pontos e . A equação é:

Substituindo o ponto :

No ponto :

Então:

Para

Então temos os lados:

Lados em que são os lados do triângulo.

Vamos verificar se há máximos e mínimos da função sobre esses lados, não esquecendo que os vértices também são candidatos a valores extremos.

Comecemos pelo lado . Lembrando a nossa função:

E o primeiro lado:

Substituindo o lado na função:

Derivando temos:

Logo não há pontos candidatos a máximos e mínimos em .

Lado : Lembrando a nossa função:

O lado é :

Substituindo o lado na função:

Derivando temos:

Logo não há pontos candidatos a máximos e mínimos em .

Lado : Lembrando a nossa função:

Temos:

Substituindo o lado na função:

Derivando temos:

Logo não há pontos candidatos a máximos e mínimos em .

Então só temos os vértices da região como candidatos. Testando seus valores, temos:

Logo o máximo absoluto de em é e o mínimo absoluto de em é .