Considere a função e o domínio
Considere as afirmativas:
- tem dois pontos de máximo absoluto em
- tem dois pontos de mínimo absoluto em
- O valor máximo absoluto de em é 1.
- O valor mínimo absoluto de em é 0.
- tem apenas um ponto crítico no interior de
Assinale a alternativa correta:
- Apenas as afirmativas II e IV são falsas
- Todas as afirmativas são verdadeiras
- Todas as afirmativas são falsas
- Apenas a afirmativa IV é falsa
- Apenas a afirmativa V é falsa
Passo 1
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo globais de uma função com restrição o processo é sempre o mesmo: Verificar se há um ponto crítico dentro da região, e verificar se há máximos e mínimos na fronteira da região.
Verificando pontos críticos dentro da região:
Como nos pontos críticos temos as derivadas nulas, então
Logo, temos apenas um ponto crítico:
E esse ponto está dentro da região . Beleza, então vamos guardar ele.
Passo 2
Então guardamos o ponto . Também precisamos guardar os vértices do quadrado que é a nossa região.
São os pontos:
Portanto, temos mais 4 pontos candidatos a máximo e mínimo.
Passo 3
Agora, devemos verificar pontos de máximo ou mínimo na fronteira.
Assim, temos 4 lados a serem verificados:
Quando em que são os lados do quadrado.
Em cada lado a função só depende de uma variável, e nós temos que achar os pontos críticos dessas 4 “subfunções”.
Passo 4
Comecemos pelo lado e . Lembrando a nossa função:
E o primeiro lado:
E o segundo lado:
Substituindo o lado na função:
Temos que achar o valor de máximo dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a
Logo, não há ponto crítico nesses lados.
Passo 5
Agora precisaríamos verificar os lados e . Mas, se você reparar, a analise desses lados cairá na mesma situação que tivemos na análise dos lados e , só que em relação ao .
Assim, também não existem pontos crítios nos lados e .
Passo 6
Ok, agora já temos todo o material necessário para terminar de vez com isso e dizer quais são os pontos de máximo e mínimo!
Os nossos candidatos são os pontos:
Passo 7
Só nos resta calcular o valor da função em cada ponto. Lembrando que
Então temos
Passo 8
Show, então temos que tem dois pontos de máximo absoluto e dois pontos de mínimo absoluto em e que o valor máximo e mínimo de em são, respectivamente, 1 e -1 e tem apenas um ponto crítico no interior de .
Assim, apenas a afirmativa IV é falsa.