Determine os valores máximos e mínimo absolutos de

No conjunto

Essa é uma questão de máximos e mínimos, então o nosso primeiro reflexo tem que ser: achar as derivadas parciais de e igualá-las a para achar os pontos críticos de . Então vamos lá:

Logo:

Agora igualando a :

• Se , como então ; o que nos dá o ponto .
• Se então ; o que nos dá os pontos .

Mas, repare que esses dois últimos pontos não pertencem ao quadrado . Logo, o único ponto crítico de em é .

Agora vamos dar uma olhada na fronteira do quadrado. Podemos notar que os vértices do quadrado são candidatos a máximo e mínimo, pois eles são os extremos da região. Isso nos dá mais 4 candidatos: os pontos , , e .

Vamos analisar agora os lados do quadrado um por um. Repare que vamos sempre ter uma coordenada variando de -1 a 1 enquanto outra fica fixada. Ou seja, na borda do quadrado a só depende de uma variável.

Lado 1: e

tem um ponto crítico: o ponto , que é, portanto, mais um candidato a ponto de máximo ou mínimo.

Lado 2: e

Assim, obtemos mais um candidato, o ponto .

Lado 3: e

A função é consante então para todo vamos ter .

Então, o lado 3 todo é candidato a conter o valor máximo ou mínimo de no quadrado. Já tínhamos considerado como candidatos os vértices e . Mas agora podemos considerar todos os pontos , com , beleza?

Lado 4: e

Repare que . Então, que nem pra , vamos ter que o ponto crítico de tem . Mas agora . Isso nos dá mais um candidato, o ponto .

Show! Achamos todos os candidatos a ponto de máximo ou mínimo de no quadrado, são os pontos:

Agora "só" nos resta calcular o valor da em cada ponto e ver qual vai ser o máximo e qual vai ser o mínimo! Lembrando que , vamos ter:

Comparando os valores, podemos ver que o valor mínimo é , no ponto , enquanto o valor máximo é , nos pontos e .

Repare aqui que quando eu fiz:

Já estou testando também os pontos e . Porque eles estão incluídos nesse intervalo.