Considere uma estrela que sofre algum tipo de oscilação. Como a frequência ω = 2 π / T (onde T é o período) da oscilação depende das propriedades da estrela? Para entender esse fato através de análise dimensional, responda os itens abaixo.

b) Determine a dimensão da constante gravitacional G .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente a dimensão da constante G da lei da gravitação universal de Newton. Pra isso, precisamos lembrar que segundo a lei da gravitação universal de Newton, a força da gravidade entre duas massas é diretamente proporcional ao produto das duas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas, ou seja:

F = G M m r 2

Onde G é a constante gravitacional, M e m são as massas dos dois corpos em interação e r é a distância entre eles. Nós sabemos que as massas tem dimensão de M , que a distância tem dimensão de comprimento L e que a força tem a dimensão de massa vezes aceleração ( F = m a ), o que nos dá F = M ∙ L T 2 . Então, vamos isolar G na equação e encontrar sua dimensão combinando as dimensões dos outros parâmetros.

Vamos lá!

Passo 2

Isolando G em F = G M m r 2 , temos:

G = F r 2 M m

Agora vamos verificar as dimensões de G , sabendo que F = M ∙ L T 2 , r = L e M = M e m = M . Assim:

G = M ∙ L T 2 ∙ L 2 M ∙ M

Fazendo o produto:

G = M L 3 T 2 M 2

Fazendo a divisão de frações:

G = M L 3 T 2 ∙ 1 M 2

Simplificando:

G = L 3 M T 2

Então, a constante G tem dimensão de comprimento ao cubo por massa e tempo ao quadrado. Por isso, no Sistema Internacional, sua unidade é m 3 / k g ∙ s 2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

G = L 3 M T 2

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