USP, Sem Campus, Física 1, Listas de Física 1 - USP - Lista de Exercícios 1, Questão 4c
Um dos fenômenos mais comuns presentes na nossa atmosfera é o chamado Equilíbrio Hidrostático, que representa um balanço entre a pressão atmosférica e a força gravitacional. Utilizando análise dimensional, também conseguimos encontrar uma expressão para a pressão (força por unidade de área) de uma coluna de gás em termos da densidade do gás , da altura da coluna e da gravidade . Para isto, responda os itens abaixo.
c) Use análise dimensional para obter em função de , e .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar a dimensão de . Pra isso, a gente vai precisar usar a análise dimensional, lembra dela? A análise dimensional nos permite gerar novas grandezas a partir de grandezas fundamentais, como massa, comprimento e tempo. Nós representamos essas grandezas básicas da seguinte forma:
- Massa:
- Comprimento:
- Tempo:
Então, sabendo que representa uma pressão e que ela é dada pela força por unidade área, vamos usar as dimensões de cada componente para determinar a dimensão de em função da densidade , da gravidade e da altura .
Vamos lá!
Passo 2
Como a gente quer que esteja em função de , e , vamos escrever a função geral:
Onde , e são constantes que nós vamos descobrir o valor. Como representa a densidade e a densidade é dada pelo quociente entre massa e volume, temos:
é a aceleração da gravidade, que é tem dimensões de distância divido pelo tempo ao quadrado, ou seja:
Por fim, temos que é a altura e tem dimensão de comprimento:
Assim, nossa equação vai ficar:
Mas, a gente sabe que pressão é força sobre área, ou seja, . Assim, temos:
Passo 3
Escrevendo essa equação em forma de produto:
Igualando os expoentes com as mesma bases em cada lado da equação, temos:
Da terceira equação, temos . A primeira equação nos dá . Substituindo os dois resultados na segunda equação, temos:
Substituindo os valores dos expoentes na equação, temos em função de , e :
Que são as mesma dimensões da pressão em função da força e da área, o que nos diz que nosso resultado é coerente com as unidades de pressão.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉