Uma massa m tem velocidade v 0 na origem e move-se ao longo do eixo x onde existe um meio onde a força de arrasto depende da velocidade e é dada por

F → ( v ) = - α v 3 / 2   v ^

Encontre a função v ( x ) ou x ( v ) e mostre que o objeto percorrerá uma distância máxima de 2 m v 0 / c .

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Temos um corpo com uma massa m , se movendo horizontalmente (no eixo x ), e se move em um meio que exerce a seguinte força de arrasto

F → ( v ) = - α v 3 / 2   v ^

precisamos encontrar a função v ( x ) ou x ( v ) e verificar que a distância máxima percorrida será dada por

2 m v 0 / c .

Aqui precisamos começar usando a segunda lei de Newton na forma

F → = m   a → = m d v d t   v ^

E realizar algumas integrações! Para a segunda parte do problema temos um “errinho” que pode confundir o aluno, a expressão da distância máxima é a seguinte

2 m v 0 / α

A constante c é a própria constante α . Vamos tentar fazer isso agora! Vem comigo!

Passo 2

Usando a segunda lei de Newton, e a expressão de nossa força, temos que

- α v 3 / 2 = m   d v d t

Isso é uma equação diferencial separável para v ( t ) , como queremos a velocidade em termos da posição, vamos usar a regra da cadeia para escrever o seguinte

- α v 3 / 2 = m   d v d x d x d t

como temos que v = d x / d t . Transformamos a nossa equação diferencial da seguinte maneira

- α m v 1 / 2 =   d v d x

Separando as variáveis, precisamos resolver a seguinte expressão

- α m   d x = 1 v 1 / 2 d v

Bora resolver essa equação! Saca só!

Passo 3

Integrando a partir da origem, temos que

- α   x m = 2 v 1 / 2 | v 0 v

que pode ser escrito da seguinte maneira

- α   x 2   m = v 1 / 2 | v 0 v

Avaliando os limites de integração, temos então

- α   x 2   m = v 1 / 2 - v 0 1 / 2

Ou isolando a nossa velocidade, temos que

v = v 0 1 / 2 - α   x 2 m

Consegue imaginar como encontraremos a distância máxima? Vem comigo!

Passo 4

Isso é uma força de arrasto, então, vai desacelerando o corpo até ele parar ( v = 0 ) em um x = x m a x , portanto, temos que

0 = v 0 1 / 2 - α   x m a x 2 m

elevando os dois lados ao quadrado, e isolando o termo da posição, temos que

α   x m a x 2 m = v 0 1 / 2

Ou simplesmente

x m a x = 2 m   v 0 1 / 2 α = 2 m   v 0 α

Como queríamos demonstrar. A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

v = v 0 1 / 2 - α   x 2 m e x m a x = 2 m   v 0 α

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