O arranjo mostrado na figura abaixo é composto por dois fios retilíneos infinitos, paralelos entre si. Os fios estão separados por uma distância 2 a e são perpendiculares ao plano x - y . Em cada fio passa uma corrente elétrica I , apontando nos sentidos indicados na figura.

  1. Copie o diagrama da figura acima e nele desenhe os vetores campos magnéticos gerados pelo fio 1 (  B → 1 ) e pelo fio 2 ( B → 2 ) no ponto P que dista x da origem O .
  2. Calcule o módulo, direção e sentido do campo magnético total   B → no ponto P .
  3. Calcule para que valor de x o módulo do campo magnético total  B → é máximo.
  4. Determine o módulo do campo total  B → quando x ≫ a .

Passo 1

a) O vetor campo magnético B → em um ponto P qualquer produzido por uma corrente I passando por um fio infinito é sempre perpendicular a esse ponto e seu módulo é dado por

B → = μ 0 I 2 π r   ,

sendo r a distância do fio até o ponto P . Além disso,   B → é sempre perpendicular à reta que liga P ao fio infinito.

Por isso, no caso da nossa questão aqui, o campo  B → 1 produzido pela corrente I do fio 1 em A é perpendicular ao segmento de reta A P , e o campo B → 2 produzido pelo fio 2 em B é perpendicular à reta B P , como mostra a figura abaixo. A direção e sentido desses campos são dados pela regra da mão direita.

Além disso, é importante que a gente também identifique o ângulo θ que as retas A P e B P fazem com o eixo x . Esse é também o ângulo que  B → 1 B → 2 fazem com a reta pontilhada vertical da figura.

Como as correntes que passam nos dois fios são iguais a I e estão à mesma distância do ponto P , então temos que:

B → 1 = B → 2 = μ 0 I 2 π r   .

Passo 2

b) Olhando para os vetores  B → 1 B → 2 da figura acima, vemos que ambos têm componentes ao longo das direções x e y . Na direção x , as componentes desses vetores têm mesma direção, mesmo módulo (conforme vimos no Passo 1), mas sentidos opostos e, por essa razão, se cancelam.

Basta, portanto, que a gente tome apenas as componentes deles na direção y , o que vai dar um módulo para campo resultante  B → no ponto P igual a:

B → = B 1 cos ⁡ θ + B 2 cos ⁡ θ = 2 μ 0 I 2 π r cos ⁡ θ     ⇒   B → = μ 0 I π r cos ⁡ θ   ,

em que usamos o fato de que os módulos dos campos produzidos pelas correntes são iguais.

Agora, precisamos ver como ficam cos ⁡ θ e r em termos das quantidades dados na figura do problema. Olhando para o triângulo retângulo da figura, temos que:

r = a 2 + x 2       ;     cos ⁡ θ = x r = x a 2 + x 2   .  

Substituindo isso na expressão para o módulo do campo resultante | B → | acima, obtemos que o vetor  B → pode escrito como

B → = μ 0 I x π a 2 + x 2 - y ^ .

Passo 3

c) Para sabermos qual valor x dá o máximo para o campo, precisamos derivar o módulo | B → | do campo magnético e igualar a zero. Quando a gente faz isso, vamos ter que

d B d x = μ 0 I π 1 a 2 + x 2 - x 2 x a 2 + x 2 2 = 0   .

Para que a derivada seja zero, o termo entre parênteses deve ser igual a zero:

1 a 2 + x 2 = x 2 x a 2 + x 2 2   ⇒   x = ± a   ,

que, tomando apenas a solução positiva, já que o ponto P está do lado positivo do eixo x , teremos

x = a   ,

que maximiza o valor do módulo do campo magnético e seu valor será

B m a x = μ 0 I 2 π a   .

Passo 4

d) Para ver como fica esse limtie, vamos reorganizar a expressão que obtivemos no final do Passo 2 da seguinte forma:

B → = μ 0 I x π a 2 + x 2 - y ^ = μ 0 I π x 1 + a 2 / x 2 - y ^   .

Se a gente faz x ≫ a nessa última expressão, vamos ter que

B → ≈ μ 0 I π x - y ^   ,

que seria o campo produzido no ponto P que está muito distante dos dois fios infinitos. Repare que esse campo resultante no ponto P é idêntico àquele que seria produzido por uma corrente de intensidade 2 I que passa num fio infinito que está a uma distância x de P ,

B → = μ 0 2 I 2 π x - y ^   ⇒   B → = μ 0 I π x - y ^   .  

Nesse caso, o ponto P está tão distante dos dois fios ( x ≫ a ), que é como se “ele visse”, a uma distância x dele, um único fio infinito na origem conduzindo uma corrente 2 I que está entrando no plano da página.

Resposta

  1. Ver figura Passo 1 ;
  2. B → = μ 0 I x π a 2 + x 2 - y ^   ;
  3. x = a   ;
  4. B → = μ 0 I π x - y ^   .

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