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Exercícios Resolvidos de Campo Magnético Gerado por um Fio

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Eletromagnetismo, Testes de Eletromagnetismo 2 - Teste 1 - Leis de Conservação - 2023.1, Questão 1c

1. Considere um condutor cilíndrico de raio R , comprimento L e condutividade σ atravessado por uma corrente estacionária I . Lembrando que a densidade de corrente J → pode ser escrita como J → = σ E → , determine:

(c) A integral do vetor de Poynting sobre a superfície do cilindro.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos obter a integral do vetor de Poynting sobre a superfície cilíndrica de raio R , comprimento L e condutividade σ atravessado por uma corrente estacionária I .

E aí, tem ideia do que fazer? 👀

Anteriormente calculamos o vetor de Poynting como

S → = - i 2 4 π σ L 2 4 + r 2 i ^

Assim, como nossa superfície do condutor é um cilindro de raio R e comprimento L , a integral de superfície poderá ser calculada a partir de um valor infinitesimal de área dada por

d A = 2 π R d L

Sacou o que vamos fazer? 🤔

Passo 2

Calculando S → d A , temos

S → d A = S → 2 π R d L

S → d A = - 2 π R i 2 4 π σ L 2 4 + r 2 d L i ^

Integrando nos dois lados, temos

S → A = ∫ 0 L - 2 π R i 2 4 π σ L 2 4 + r 2 d L i ^

S → A = - R i 2 2 σ ∫ 0 L 1 L 2 4 + r 2 d L i ^

Multiplicando em cima e em baixo por 2

S → A = - R i 2 2 σ ∫ 0 L 2 2 L 2 4 + r 2 d L i ^ = - R i 2 2 σ ∫ 0 L 2 4 L 2 4 + r 2 d L i ^

S → A = - R i 2 2 σ ∫ 0 L 2 4 L 2 4 + 4 r 2 d L i ^

S → A = - R i 2 σ ∫ 0 L 1 L 2 + 2 r 2 d L i ^

Tudo certo até aqui? 😬

Passo 3

Perceba que podemos calcular essa integral pelo teorema fundamental do cálculo lembrando que

∫ 1 x 2 + y 2 d x = ln ⁡ x + x 2 + y 2 y + C

Ou seja

∫ 0 L 1 L 2 + 2 r 2 d L = ln ⁡ L + L 2 + 2 r 2 2 r - ln ⁡ 0 + 0 2 + 2 r 2 2 r

Como L e r sempre são positivos, então

∫ 0 L 1 L 2 + 2 r 2 d L = ln ⁡ L + L 2 + 2 r 2 2 r - ln �� 2 r 2 r

∫ 0 L 1 L 2 + 2 r 2 d L = ln ⁡ L + L 2 + 2 r 2 2 r

Substituindo em S → A

S → A = - R i 2 σ ∫ 0 L 1 L 2 + 2 r 2 d L i ^

S → A = - R i 2 σ ln ⁡ L + L 2 + 2 r 2 2 r i ^

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

S → A = - R i 2 σ ln ⁡ L + L 2 + 2 r 2 2 r i ^

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