A figura abaixo mostra, em seção reta, quatro fios finos paralelos, retilíneos e muito compridos, que conduzem corrente iguais nos sentidos indicados.

Inicialmente, os quatro fios estão a uma distância d = 15,0   c m da origem do sistema de coordenadas onde criam um campo magnético total B → .

a Para que valor de x o fio 1 deve ser deslocado sobre o eixo x para que o campo B → sofra uma rotação de 30 ° no sentido anti-horário?

b Com o fio 1 na nova posição, para que valor de x o fio 3 deve ser deslocado sobre o eixo x para que o campo B → volta à orientação inicial?

Passo 1

O primeiro passo é ver onde está o campo magnético original. Como as correntes são iguais e as distâncias iniciais também são, os módulos dos campos magnéticos de cada fio também serão iguais.

Logo, usando a regra da mão direita, podemos determinar para onde estão esses campos:

Assim, o campo magnético resultante será:

B → = 2 B i ^

B → = 2 μ 0 i 2 π d i ^

B → = μ 0 i π d i ^

Passo 2

a Para que valor de x o fio 1 deve ser deslocado sobre o eixo x para que o campo B → sofra uma rotação de 30 ° no sentido anti-horário?

Antes de começar, vamos defini B x como sendo a componente em x do campo magnético total e B y como sendo a componente em y do campo magnético total. Onde:

B x = B 2 + B 4

B y = B 1 - B 3

Nesse caso, como não vamos mexer com os fio 2 e 4, B x será dado por:

B x = μ 0 i 2 π d + μ 0 i 2 π d

B x = μ 0 i π d

Além disso, como não vamos mexer com o fio 3:

B 3 = μ 0 i 2 π d

Continuando...

Agora, para que haja uma rotação de 30 ° no sentido anti-horário, é necessário que:

B y B x = tan ⁡ 30 °

Vamos reorganizando esse cara até acharmos o que estamos procurando:

B y = B x tan ⁡ 30 °

B 1 ' - B 3 = B x tan ⁡ 30 °

Substituindo as expressões dos campos magnéticos, teremos:

μ 0 i 2 π d ' - μ 0 i 2 π d = μ 0 i π d 3 3

Simplificando os termos:

1 d ' = 1 d + 2 3 3 d

1 d ' = 2 3 + 3 3 d

d ' = 3 d 2 3 + 3

Onde d = 15,0   c m , finalmente:

d ' = 7,0   c m

SE LIGA!!!!!!!

Aqui tem uma pegadinha... o problema pergunta para que valor de x o fio 1 deve ser deslocado. Assim, como ele deve ficar a 7,0   c m da origem, ele deve ser deslocado para a posição:

x = - 7,0   c m

Passo 3

b Com o fio 1 na nova posição, para que valor de x o fio 3 deve ser deslocado sobre o eixo x para que o campo B → volta à orientação inicial?

Para que volte à orientação inicial, o campo magnético B 3 → deve cancelar o campo magnético B 1 → . Isso só vai acontecer se os dois estiverem à mesma distância da origem.

Assim, o fio 3 deve ser deslocado para a posição:

x = 7,0   c m

Resposta

a

x = - 7,0   c m

b

x = 7,0   c m

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