Quatro longos fios são dispostos ortogonalmente ao plano da página, como mostra a figura abaixo, sendo cada um deles percorrido, no sentido indicado, por uma corrente i . Determine o vetor B resultante no centro do quadrado.

Passo 1

Primeiramente, quando ele diz “longos fios”, ele quer dizer infinito. Agora, temos que lembrar que o módulo do campo magnético produzido por uma corrente transportada em um fio condutor infinito é:

B =   μ 0 i 2 π R

Sendo R, a distância do ponto P até o fio.

Passo 2

Feito isso, nós vamos utilizar a regra da mão direita (como em todos os exercícios haha) em cada um dos fios.

Sejam as correntes 1, 2, 3 e 4, conforme a figura abaixo, nósteremos os respectivos campos magnéticos B 1 → , B 2 → ,   B 3 →   e   B 4 → . Em todos os outros pontos a intereção das 4 correntes irá gerar um campo magnético nulo.

Lembrando que isso só ocorre pois todas as correntes possuem uma corrente de mesma intensidade, i .

Passo 3

Por questões de simetria, todas as componentes horizontais irão se cancelar, sobrando apenas a componente vertical.

Temos que o módulo dos campos é dado por:

B 1 = B 2 =   B 3 =   B 4 =   B =   μ 0 i 2 π R

E como temos a soma dos quatro campos vamos ter que o campo magnético resultante é dado por:

B r e s =   4 B =   2 μ 0 i π R

E sabemos que o valor de R é dado pela metade da diagonal do quadrado, ou seja:

R = a   2 2

Substituindo:

B r e s =   4 μ 0 i π a 2 =   4 μ 0 i 2 π a 2 =   2 2 μ 0 i π a

Agora só falta calcular a componente vertical do nosso campo magnético resultante:

Por se tratar de um quadrado, sabemos que o ângulo θ (em verde na figura) é de 45º.

Sendo assim, temos:

B r e s   v e r t i c a l = B r e s cos ⁡ θ =   2 2 μ 0 i π a   2 2 =   2 μ 0 i π a  

Resposta

B r e s   v e r t i c a l = 2 μ 0 i π a

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