USP, Álgebra linear 1, Provas Antigas, P2, 2022, Questão 7
Considere fixada uma orientação em . Seja um tetraedro em tal que:
E tal que a medida do ângulo entre os vetores e é igual a . Se a medida do ângulo entre os vetores e for igual a , então o volume desse tetraedro será igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu um tretraedro formado por vetores. Ele nos deu as dimensões de alguns desses vetores, no caso, , e o ângulo entre eles. E nós precisamos determinar o volume desse tetraedro.
Galera, sempre que falarmos em determinar o volume de um tetraedro usando vetores, precisamos pensar em usar em produto misto. Isso porque o volume de um paralelípedo nada mais é do que o módulo do produto misto, e o paralelepípedo é composto por tetraedros. Então, basta a gente dividir o produto misto por para obter o volume do tetraedro:
Mas como a gente tá tomando um valor absoluto (em módulo), a gente pode inverter os vetores sem precisar inverter o sinal, então a gente pode trocar por (que a gente conhece o módulo).
A partir daí nós vamos determinar o volume do tetraedro usando a definição de produto misto.
Vamos lá!
Passo 2
Lembra como a gente calcula um produto misto? O produto misto é a junção de um produto vetorial de dois vetores com um produto escalar com um terceiro vetor. Então, usando a nossa equação de volume, temos:
Tá, mas como é mesmo que calcula o produto vetorial? A gente pode calcular usando a relação:
Onde é o ângulo entre os vetores e , que já sabe que é . Substituindo essa definição de produto vetorial na nossa equação de volume, temos:
Agora só falta a gente definir aquele produto escalar ali, que é dado pelo módulo de cada vetor vezes o cosseno do ângulo entre eles (no caso, o vetor resultante do produto vetorial e o vetor ). Assim, teremos:
Onde também foi dado pelo enunciado e é igual a .
Passo 3
Substituindo o valor dos ângulos e o valor dos módulos, , na equação de volume:
Como e , vamos obter:
Logo,
Como a raiz quadrada é sempre positiva, a gente pode tirar do módulo:
Simplificando, temos:
Que é a nossa alternativa (A).
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉