USP, Álgebra linear 1, Provas Antigas, P2, 2022, Questão 11
Considere fixada uma orientação em . Sejam e com . Assinale a alternativa correta:
(a) se , então é ortogonal a
(b) se é ortogonal a , então
(c) o produto misto é nulo se, e somente se, é combinação linear de e
(d) se é linearmente dependente, então é paralelo a
(e)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu três vetores, e , que pertencem ao mesmo espaço vetorial , cujo vetor é diferente do vetor nulo. E nós precisamos analisar cada afirmativa, para verificar se elas são verdadeiras ou não, usando algumas propriedades vetoriais.
Primeiramente, precisamos lembrar que toda vez que eu pegar um vetor pertencente à um espaço e projetá-lo em dará o próprio vetor. E se eu pegar outro vetor pertencente ao complemento ortogonal de , no caso , dará zero.
Além disso, vamos precisar relembrar quando um produto misto é igual a zero e as propriedades do produto escalar.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar analisando a letra (a), que nos diz que “se , então é ortogonal a ”. Vamos ver se isso é verdade. Pegando a condição:
Temos uma projeção que é igual a outra, então se eu subtrair uma da outra, vamos encontrar o vetor nulo, certo? Assim:
A gente pode reescrever isso na forma:
Por definição, pra que essa projeção seja igual ao vetor nulo, precisa ser ortogonal ao vetor , porque ela formaria com o plano onde está sendo projetada e consequentemente o cosseno do ângulo entre eles seria zero.
Portanto, já temos nossa alternativa correta. Mas vamos analisar as outras.
Passo 3
A alternativa (b) diz que “se é ortogonal a , então ”. Isso é falso, porque, como vimos no passo anterior, se é ortogonal a , então a projeção:
Na alternativa (c), ele nos diz que “o produto misto é nulo se, e somente se, é combinação linear de e ”. Isso também é falso, porque o produto misto entre três vetores é nulo se, e somente se, os três forem linearmente dependentes, ou seja, é . E isso pode acontecer sem que seja combinação linear de e .
Na letra (d), temos a afirmativa de que “se é linearmente dependente, então é paralelo a ”. Ou seja, ele diz que se o produto misto desses vetores for , então produto vetorial de e produz um vetor paralelo a . Isso também não é verdade, porque se e forem o produto vetorial entre eles é nulo e ortogonal a e . Portanto, não é paralelo a nenhum plano paralelo a e .
Por fim, na letra (e), temos que “”. Pra verificar se isso é verdade, precisamos desenvolver o lado esquerdo da igualdade. Assim, supondo que seja a medida do ângulo entre e , temos:
Colocando em evidência:
Portanto, não é igual a em geral, e a alternativa também é falsa.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉