USP, Álgebra linear 1, Provas Antigas, P2, 2022, Questão 4
Considere fixada uma orientação em . Sejam e tais que
Se o ângulo entre e é obtuso, então é igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu dois vetores e , que pertecem a um espaço vetorial , e possuem um ângulo obtuso entre eles. Ele nos disse também que o módulo do vetor é , o módulo do vetor é e que o módulo do produto vetorial entre eles é .
Nós precisamos determinar o valor do produto escalar desses vetores (que também gera um escalar). Lembra como a gente calcula esse produto? Ele dado pela relação entre o comprimento de cada vetor e o ângulo entre eles, isso aqui:
O comprimento de cada vetor, e , a gente já conhece, só falta descobrir o ângulo . É aí que entra o valor do produto vetorial que ele deu, porque o produto vetorial pode ser calculado pela expressão:
Se a gente isolar o seno, fica assim:
E agora a gente sabe o valor de todo mundo que tá ali na fração, então fica fácil determinar o valor do seno. Tá como é que isso nos ajuda, se a gente quer o cosseno do ângulo? Porque aí, basta a gente usar a relação trigonométrica , e teremos o valor do cosseno, sacou? Substitundo na equação do produto escalar, vamos encontrar nossa resposta.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando o seno do ângulo através do produto vetorial:
Nós sabemos que Substituindo, vamos obter:
Simplificando a fração:
Passo 3
Beleza, agora, como queremos descobrir o valor do cosseno do ângulo, vamos usar a identidade trigonométrica:
Substituindo o valor do seno (não esqueça de elevar ao quadrado, por causa da identidade), que calculamos no passo , temos:
Logo,
Se o cosseno ao quadrado é igual a , para descobrir o valor do cosseno, basta tirar a raiz quadrada:
Mas, lembra que o enunciado falou que o ângulo entre os vetores é obtuso? Os ângulos obtusos medem mais de e o cosseno de um ângulo obtuso é o oposto do cosseno do suplemento desse ângulo, então basta a gente mudar o sinal:
Passo 4
Agora podemos calcular o produto escalar entre os vetores e , usando a expressão:
Lembrando que e . Logo:
Multiplicando os termos:
Que é a nossa alternativa (A).
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉