USP, Álgebra linear 1, Provas Antigas, P2, 2022, Questão 2
Considere fixada uma orientação em . Sejam , vetores tais que o produto misto seja igual a . Temos que
é igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar o valor do produto misto sabendo que o valor do produto misto é igual a .
Mas o que é um produto misto mesmo? Nada mais é do que uma maneira da gente multiplicar três vetores, mas essa multiplicação tem suas regrinhas próprias. Uma forma de calcular o produto misto pode ser fazendo o produto escalar de um dos vetores com o produto vetoria dos outros dois, . Outra forma seria calcular o determinante entre os vetores:
Mas calmas que a gente não vai precisar fazer esse cálculo. Isso porque, o enunciado já nos deu o valor do produto misto , que é . Então, só o que a gente precisa fazer é usar algumas propriedades vetoriais pra chegar em uma relação com esse produto misto que a gente já conhece o valor, e assim conseguir determinar o valor de .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar tentando “desmembrar” o conjunto . Pra isso, nós vamos usar uma propriedade que nos diz que:
E o mesmo vale quando essa soma tá na terceira componente, tá? Ali em .
Então, para , temos:
Aí tem outra propriedade que nos diz que o produto misto entre três vetores é nulo se dois deles são colineares ou se o três são coplanares. E a gente diz que dois vetores são colineares se tiverem a mesma direção. Então, quer dizer que e são colineares? Isso mesmo, porque eles possuem o mesmo módulo e direção.
E aí, o quê que acontece? O produto misto da direita, é igual a , porque possui dois vetores colineares, sacou? Então, vai ficar:
Passo 3
Dá primeira propriedade que nós vimos no passo , nós podemos separar aquela soma na terceira componente, certo? Então, vamos ter:
Agora, olha só esse produto . Reparou que temos um vetor que é proporcional a ? Isso quer dizer que eles também são colineares. Então, o produto misto também vai ser zero. E temos:
Agora, será que dá pra gente tira aquele dois do início do segundo produto? Dá sim, porque existe uma outra propriedade que define o seguinte:
Onde é uma constante. Isso quer dizer que . Assim:
Passo 4
Agora tá bem parecido com o produto misto que o enunciado nos deu, né? Só falta a gente mudar a ordem desses vetores. Pra isso, a gente vai precisar mudar a ordem de dois vetores consecutivos e no produto misto, quando a gente precisar fazer essa troca, nós mudamos o sinal do produto. Então vamos ter:
Agora sim, nós sabemos que . Dessa forma, temos:
E encontramos nosso resultado na alternativa (A).
Valeu, galera! Até a próxima! 😉