USP, Álgebra linear 1, Provas Antigas, P2, 2022, Questão 5
Considere fixada uma orientação em . Sejam e , e considere o vetor dado por
Se , , e a medida do ângulo entre e é igual a , então pode-se afirmar que:
(a) ou
(b) ou
(c) ou
(d) ou
(e) ou
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu os vetores , e , que pertecem a um espaço vetorial . Nós sabemos que o módulo do vetor é , o módulo do vetor é e que o ângulo entre eles é . A gente sabe também que o módulo do vetor é igual a e que ele é definido pela equação:
Nós precisamos encontrar o valor dessa constante e aparece em . Pra isso, nós vamos usar algumas propriedades do produto vetorial, de modo que a gente consiga isolar na equação e usar os dados que o enunciado nos deu para encontrar seu valor.
Vamos lá!
Passo 2
Galera, uma das propriedades do produto vetorial, usando a soma entre vetores, é dada da seguinte forma:
Ela também pode ser escrita dessa forma:
Então, podemos ir “demembrando” o produto vetorial em , que o enunciado nos deu, usando essa propriedade. Dessa forma,temos:
Agora a gente tem outra propriedade interessante. Quando dois vetores são linearmente dependentes (LD), o produto vetorial entre eles é zero. E uma das formas de identificar que eles são LD é quando os vetores são proporcionais (combinação linear um do outro).
Agora repare que na nossa expressão, temos e , que são combinação linear um do outro em cada produto vetorial, então podemos dizer que esse produto é , eliminando esses termos vamos ter:
Agora, será que dá pra juntar os termos semelhantes? Dá sim, se a gente lembrar de uma propriedade de multiplicação por escalar, que vamos chamar de , e que tem a forma:
No nosso caso, nossos escalares são e , e . Então, usando a propriedade, nossa expressão fica assim:
Agora a gente tem os termos mais ou parecidos dentro dos parênteses, né? Mas a gente pode deixar eles com mesma carinha usando outra propriedade do produto vetorial, que diz que . Então, podemos escrever:
E aí podemos colocar em evidência:
Passo 3
Tá, mas a gente ainda não tem o valor de , que é o objetivo da questão. Então, vamos olhar o que mais o enunciado nos dá de informação. Ele nos diz que e nós encontramos , então, colocando a expressão em módulo, podemos dizer que:
Como a soma é de escalares, podemos escrever:
Lembra da definição de produto vetorial? Se não lembra, não tem problema, porque ela pode ser dada pela equação:
Então, vamos substituir essa definição na equação:
Nós sabemos que , que e que o ângulo entre esses dois vetores é igual a . Substituindo, vamos obter:
E , então temos:
Simplificando:
Passo 4
Galera, pela definição de função modular:
Então, para temos duas opções:
Ou
Na primeira opção, isolando vamos ter:
E na segunda opção:
Então, ou . Que é a nossa alternativa (A).
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉