USP, Álgebra linear 1, Provas Antigas, P2, 2022, Questão 6
Seja uma base ortonormal de e considere um triângulo em tal que:
Temos que o comprimento da altura desse triângulo relativa à base é igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu um triângulo que tem a base dada por . Um outro lado desse triângulo é dado por . E nós precisamos encontrar a altura do triângulo.
A gente sabe da geometria, que a área do triângulo é dada pela metada do produto do comprimento da base pela altura, ou seja:
Só que nossa base é o módulo do vetor . Chamando a altura de , temos:
Mas a gente também pode calcular essa área fazendo o produto vetorial entre dois dos vetores que formam o triângulo, assim:
Então, nós vamos usar as duas fórmulas pra calcular a área e extrair o valor da altura igualando as duas.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a área do triângulo pela equação:
O enunciado nos deu o vetor . Então, vamos tirar o módulo dele, calculando a raiz da soma dos seus componentes ao quadrado:
Substituindo na fórmula de área:
Passo 3
Agora vamos usar a outra fórmula da área do triângulo:
O enunciado nos deu , pra encontrar e basta trocar o sinal das componentes de cada vetor:
Substituindo na fórmula de área:
Lembra como a gente calcula o produto vetorial entre dois vetores? Nós vamos precisar montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante dela, assim:
Calculando o determinante:
Lembra que , e definem as posições da componente do vetor, né? Então, vamos somar cada componente:
Substituindo na equação da área, temos:
Agora a gente calcula o módulo do vetor da mesma forma que no passo :
Passo 4
Agora vamos juntar esses resultados. No passo , nós encontramos e no passo encontramos . Igualando os dois resultados, temos:
Simplificando:
Isolando :
Que é a nossa alternativa (A).
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉